Soluzioni
  • Il termine complanare viene utilizzato per indicare che due o più enti dello spazio euclideo appartengono allo stesso piano.

    Ad esempio diremo che:

    - due rette sono rette complanari se appartengono allo stesso piano;

    - quattro punti sono complanari se tutti e quattro i punti appartengono allo stesso piano;

    - una retta è complanare a due punti se la retta e i due punti appartengono allo stesso piano.

    Condizione di complanarità

    Ora che dovrebbe essere chiaro il significato del termine complanare, vediamo qual è la condizione di complanarità, ossia qual è la condizione che devono soddisfare due o più enti dello spazio euclideo per essere complanari.

    Ricordando che l'equazione cartesiana di un piano è un'equazione della forma

    ax+by+cz+d=0\ \ \ \mbox{ con } a,b,c,d \in \mathbb{R}

    diremo che un insieme di punti dello spazio euclideo sono complanari se e solo se esistono dei numeri reali a,\ b,\ c,\ d tali che ogni punto (x,y,z) dell'insieme soddisfa l'equazione del piano.

    Quando si risolvono gli esercizi di Geometria Euclidea è utile ricordare le seguenti proprietà sulla complanarità.

    1) Tre punti qualsiasi dello spazio euclideo sono sempre complanari; nello specifico, esiste sempre un unico piano passante per tre punti distinti e non allineati dello spazio.

    2) Due rette incidenti nello spazio sono complanari, quindi se due rette dello spazio sono incidenti esiste sempre un piano che le contiene entrambe.

    3) Una retta dello spazio è sempre complanare ad un punto qualsiasi dello spazio che non appartenente a tale retta, cioè esiste sempre un piano passante per una retta ed un punto non appartenente ad essa.

    Esempio (per i soli studenti universitari)

    Stabilire se il punto D=(0,-1-1) è complanare ai punti

    A=(1,1,0),\ B=(2,3,1),\ C=(0,4,7).

    Svolgimento: tre punti dello spazio sono sempre complanari. Poiché i tre punti A,\ B,\ C sono tre punti dello spazio non allineati sappiamo che esiste un unico piano che li contiene. L'equazione di tale piano è data da

    \mbox{det}\begin{pmatrix}x-x_A & y-y_A & z-z_A \\ \\ x_B-x_A & y_B-y_A & z_B-z_A \\ \\ x_C - x_A & y_C-y_A & z_C - z_A \end{pmatrix} = 0

    da cui si ottiene

    \mbox{det}\begin{pmatrix}x-1 & y-1 & z \\ \\ 1 & 2 & 1 \\ \\ -1 & 3 & 7 \end{pmatrix} = 0

    Ricorrendo alla regola di Sarrus possiamo ricavare l'equazione del piano cercato passante per i punti A,\ B,\ C.

    11x-8y+5z-3=0

    Per la condizione di complanarità, per stabilire se il punto D è complanare ai punti A,\ B,\ C basta vedere se le coordinate cartesiane del punto D=(0,-1,-1) soddisfano l'equazione del piano.

    Dal momento che risulta

    11 \cdot x_D - 8 \cdot y_D + 5\cdot z_D -3= 11 \cdot 0 - 8 \cdot (-1) + 5 \cdot (-1) - 3 = 0+8-5-3 = 0

    possiamo affermare che D è complanare ai punti A,\ B,\ C.

    Per ulteriori approfondimenti vi rimandiamo alla lettura delle lezioni di Geometria dello Spazio.

    Risposta di Galois
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