Soluzioni
  • Ciao Catelal,  un attimo di pazienza e ti rispondo :)

    Risposta di Omega
  • Per i metodi di verifica dei limiti con la definizione, ti consiglio la lettura di queste schede di esercizi: ci sono degli esempi svolti che potrebbero tornarti utili.

    In questo caso, il limite è

    \lim_{x\to +\infty}{\frac{4f(x)}{1+|f(x)|}}

    e sapendo che

    \lim_{x\to +\infty}{f(x)}=1

    risulta evidentemente che

    \lim_{x\to +\infty}{\frac{4f(x)}{1+|f(x)|}}=\frac{4}{2}=2.

    Per la verifica, ci serve la definizione di limite finito per x tendente ad un valore infinito: prendiamo un \overline{\varepsilon}\geq 0 arbitrario, dobbiamo dimostrare che esiste un numero M tale che se

    x\geq M

    allora

    \left|\frac{4f(x)}{1+|f(x)|}-2\right|\leq \overline{\varepsilon}

    Dato che conosciamo il valore del limite di f(x), grazie alla definizione

    \forall \varepsilon\geq 0\mbox{ }\exists N\geq 0\mbox{ t. c. se }x\geq N\mbox{ allora }|f(x)-2|\leq\varepsilon

    Prendiamo N=M: allora evidentemente se

    x\geq N

    allora risulta che

    |f(x)-1|\leq \varepsilon

    Noi vogliamo far vedere che se x\geq M=N vale la disequazione

    \left|\frac{4f(x)}{1+|f(x)|}-2\right|\leq \overline{\varepsilon}

    Da un lato è facile vedere che definitivamente, grazie al limite di f(x), sappiamo che se x>M allora f(x)-1 è compreso tra -epsilon ed epsilon e quindi

    1-\varepsilon\leq f(x)\leq 1+\varepsilon

    Quindi

    1+|f(x)|

    è compreso tra 2-\varepsilon2+\varepsilon

    da cui

    \frac{4f(x)}{|1+f(x)|}

    è compreso tra 2f(x)-\overline{\varepsilon}2f(x)+\overline{\varepsilon}

    con \overline{\varepsilon} un numero piccolo e dipendente da \varepsilon

    e quindi

    \frac{4f(x)}{|1+f(x)|}-2

    è un numero compreso tra -\overline{\varepsilon}\overline{\varepsilon}.

    Abbiamo finito!

    Namasté - Agente \Omega

    Risposta di Omega
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