Formule di Poisson

Quali sono le formule di Poisson relative all'omonimo teorema e che descrivono le derivate temporali di vettori di norma costante?

 

Le formule del teorema di Poisson che mi servono riguardano i vettori (di norma costante) in rotazione rispetto un asse nel caso generale della cinematica del punto. Il mio testo riporta il risultato:

 

\frac{d\vec{A}}{dt}=\vec{\omega}\times\vec{A}

 

Vi è inoltre l'immagine del vettore che, ruotando attorno al proprio asse, descrive un cono di vertice O (l'origine del vettore).

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Soluzioni

  • Le formule di Poisson permettono di calcolare la derivata temporale di un vettore a modulo costante e solidale con un corpo rigido in rotazione, e si riferiscono nella loro formulazione più semplice alle derivate rispetto al tempo dei versori di una terna solidale al corpo rigido.

    Teorema di Poisson

    Sia M un corpo rigido in moto, \vec{i},\ \vec{j},\ \vec{k} i versori di una terna ortonormale destra solidale con il corpo.

    Esiste ed è unico un vettore \vec{\omega}, indipendente dalla terna scelta, tale per cui le derivate dei versori \vec{i},\ \vec{j},\ \vec{k} rispetto al tempo t sono espresse da

    \\ \frac{d}{dt} \vec{i} = \vec{\omega}\times\vec{i} \\ \\ \\ \frac{d}{dt} \vec{j} = \vec{\omega}\times\vec{j}\\ \\ \\ \frac{d}{dt} \vec{k} = \vec{\omega}\times \vec{k}

    dove \times denota il prodotto vettoriale mentre il vettore \vec{\omega} viene detto velocità angolare.

    Innanzitutto ti faccio notare che le formule valgono anche nel caso di corpi rigidi in quiete: in tal caso avremmo infatti \vec{\omega}=\underline{0} e dunque le derivate dei vettori \vec{i},\ \vec{j},\ \vec{k} sarebbero nulle.

    Nota inoltre che stiamo parlando della stessa cosa, solo che ho espresso le formule di Poisson in termini delle componenti del vettore piuttosto che del vettore stesso.

    Ipotesi del teorema di Poisson

    È importante sottolineare che, affinché le formule di Poisson siano valide, il vettore \vec{v} deve avere norma costante (e, bada bene, non verso o direzione).

    Risposta di Omega
 
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