Risoluzione di disequazioni di grado superiore al secondo con Ruffini e non

Ciao DIPA, risolviamo le disequazioni una ad una.

1) 3x²+6x²+3x < 0

[ho il sospetto che il 3 non abbia la x, o che sia 3x³ e non 3x²: se fosse così richiedi e risponderemo nuovamente] Sommiamo 3x² + 6x²=9x² e raccogliamo un 3

3(3x²+x) < 0

mandiamo via il 3 dividendo entrambi i membri per 3

3x²+x < 0

Ora raccogliamo una x

x(3x+1) < 0

e studiamo il segno dei due fattori, x e 3x+1, separatamente, ponendoli entrambi >0. Abbiamo

primo fattore: x>0

secondo fattore: x>-1/3

Ora con il solito grafico con linee piene (+) e linee tratteggiate (-) guardiamo dove il prodotto dei segni è + e dove -. A noi interessano i valori delle x che rendono l'espressione x(3x+1) negativa, e sono

x compreso tra -1/3 e zero, estremi esclusi

2) x³-6x²+12x-8≥0

Questa disequazione equivale a (x-2)³≥0, se non riconosci che è il cubo di un binomio puoi cavartela scomponendo il polinomio con il metodo di Ruffini e usando come radice 2. Questo metodo ci dice che il polinomio lo possiamo riscrivere come

(x²-4x+4)(x-2)≥0

dove x²-4x+4=(x-2)², quindi

(x-2)²(x-2)≥0

cioè

(x-2)³≥0

Dato che le potenze dispari mantengono il segno della base invariato, questa disequazione si traduce in

x-2≥0

cioè (soluzione) x≥2.

3) x⁴-6x²+8>0

Qui ci vuole il metodo di sostituzione: sostituiamo y=x², in questo modo sostituendo abbiamo

y²-6y+8>0

che con il metodo di scomposizione della somma/prodotto (o anche con la formuletta classica per scomporre i polinomi di grado 2) possiamo riscrivere come

(y-2)(y-4)>0

Come al solito studiamo il segno dei due fattori separatamente: la prima parentesi ci dice y>2, la seconda y>4, e confrontando i segni con il grafico classico dobbiamo cercare le soluzioni che rendono tutto maggiore di zero, quindi la soluzione è y minore di 2 vel y maggiore di 4.

Ora però ci ricordiamo che y=x², quindi abbiamo due nuove disequazioni:

x² <2 p="">

x²>4              cioè                   x minore di -2 vel x maggiore di 2 (esclusi)

Per avere la soluzione della disequazione di partenza, uniamo le due soluzioni e troviamo:

x<2 p="">

-√2< x < √2 vel

x>2

Namastè - Agente Ω