Divisori di 120

I divisori di 120 sono 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120, -1, -2, -3, -4, -5, -6, -8, -10, -12, -15, -20, -24, -30, -40, -60, -120 e sono tutti e soli i numeri interi, positivi e negativi, tali che la divisione tra 120 e ciascuno di essi ha resto zero.

Cominciamo con l'elenco di tutti i divisori di 120 scritti in ordine crescente:

-120, -60, -40, -30, -24, -20, -15, -12, -10, -8, -6, -5, -4, -3, -2, -1,

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120

Il concetto di divisore di un numero si studia per la prima volta nella scuola primaria, quando si conoscono solo i numeri naturali (0, 1, 2, 3, ...). Per questo motivo ci si limita a calcolare i divisori positivi di 120:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120

Dopo aver studiato i numeri interi relativi (numeri interi con segno meno o più, zero incluso) si scopre che i divisori possono essere anche negativi, e da quel momento in poi si devono considerare anche i divisori negativi di 120:

-1, -2, -3, -4, -5, -6, -8, -10, -12, -15, -20, -24, -30, -40, -60, -120

Con queste premesse vediamo come si calcolano i divisori di 120.

Qui di seguito proponiamo due metodi: il primo è quello più usato ma, come vedremo, è scomodo nel caso del numero 120 perché c'è il rischio di dimenticare qualche divisore. Il secondo è leggermente più laborioso, ma riduce al minimo il rischio di errore.

Come trovare i divisori di 120

Scomponiamo in fattori primi il numero 120

e concentriamoci sui numeri della colonna di destra.

- I divisori primi di 120 sono i numeri primi presenti nella scomposizione:

2, 3, 5

- I divisori positivi di 120 sono il numero 1 (divisore di ogni numero), i divisori primi 2, 3 e 5, e tutti i possibili prodotti dei numeri della colonna di destra:

e quindi:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120

- I divisori negativi di 120 sono gli opposti dei divisori positivi:

-1, -2, -3, -4, -5, -6, -8, -10, -12, -15, -20, -24, -30, -40, -60, -120

- Tutti i divisori di 120 sono dati dall'unione tra l'insieme dei divisori negativi e quello dei divisori positivi:

-120, -60, -40, -30, -24, -20, -15, -12, -10, -8, -6, -5, -4, -3, -2, -1,

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120

Metodo alternativo per il calcolo dei divisori di 120

Quando la colonna destra della scomposizione in fattori primi ha quattro o più elementi, di cui almeno due diversi tra loro, con il metodo visto in precedenza si corre il rischio di dimenticare qualche divisore.

In casi del genere conviene applicare il seguente procedimento.

1) Scomporre il numero in fattori primi e scrivere la scomposizione in forma compatta

2) Compilare una tabella con tante righe quanti sono i divisori primi, e che contenga:

- nella prima riga le potenze del primo fattore, da quella con esponente zero fino a quella con cui compare nella scomposizione;

- nella seconda riga le potenze del secondo fattore, da quella con esponente zero fino a quella con cui figura nella scomposizione;

- e così via, fino a esaurire tutti i fattori primi.

Nel caso di 120 i fattori primi sono 2, 3 e 5, pertanto la tabella ha tre righe. Nella prima riga ci sono le potenze di 2 da 2⁰ a 2³, nella seconda riga le potenze di 3 da 3⁰ a 3¹ e nella terza riga le potenze di 5 da 5⁰ a 5¹

3) Calcoliamo le potenze:

4) Moltiplichiamo ogni numero della prima riga per ogni numero della seconda riga

5) Scriviamo i prodotti appena calcolati in ordine crescente

e moltiplichiamoli per ciascun numero della terza riga della tabella iniziale (1 e 5)

6) Le righe della tabella sono finite: abbiamo individuato tutti i divisori positivi di 120:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120

Come stabilire se un numero è un divisore di 120

Un numero intero è un divisore di 120 se soddisfa le seguenti condizioni:

- è compreso tra -120 e 120, estremi inclusi;

- il resto della divisione tra 120 e il numero considerato è uguale a zero.

A titolo di esempio stabiliamo quali 1, 5, 7, 9, 30, 32 e 240 sono divisori di 120.

Il numero 240 è maggiore di 120, dunque lo possiamo scartare. Per gli altri svolgiamo le rispettive divisioni:

I divisori di 120 tra i numeri considerati sono 1, 5 e 30, perché sono compresi tra -120 e 120 e i resti delle rispettive divisioni sono nulli.

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