Soluzioni
  • Il dx negli integrali è un grafema, o se vogliamo una notazione comoda, avente il ruolo di:

    - mettere in chiaro qual è la variabile secondo cui stiamo integrando;

    - limitare l'operando dell'integrale, una sorta di parentesi insomma;

    Nell'interpretazione geometrica di integrale, il dx viene inteso come la variazione infinitesima della variabile indipendente x corrispondente alla base del rettangolo, di spessore infinitesimo e altezza f(x), la cui area è data da

    dA=\mbox{altezza}\times\mbox{base}= f(x) dx

    Tale area coincide con l'area della parte di trapezoide associato ad f e relativo alla base dx.

    È opportuno sottolineare che l'interpretazione di dx come base di un rettangolo è utile solo dal punto di vista puramente didattico, e che è frutto di un retaggio storico. Nell'accezione moderna di integrale, il simbolo non possiede alcun significato intrinseco.

    Ci rendiamo conto che l'ultima frase possa sbigottire molti studenti (e più di qualche insegnante), ecco perché riteniamo opportuno effettuare una velocissima panoramica storica sulla nascita e sullo sviluppo dell'Analisi Matematica.

    Partiremo dal concetto di derivata di una funzione, o più precisamente della definizione di derivata secondo il matematico e filosofo Gottfried Wilhelm von Leibniz, uno dei fondatori dell'Analisi Matematica.

    Il suo intento era quello di risolvere un problema molto in voga negli ambienti accademici del 700 detto problema delle tangenti: ci si chiedeva come determinare l'equazione della retta tangente al grafico di una funzione f(x) in un punto fissato x.

    L'intuito del matematico gli permise di giungere ad una soluzione brillante con un'idea di per sé molto semplice e basata sull'osservazione vera propria del grafico della funzione.

    Leibniz considerò due punti P(x, y)\mbox{ e }Q(x+dx, y+dy), appartenenti al grafico della funzione ed infinitamente vicini tra loro, e asserì che la retta passante per i due punti fosse esattamente la retta tangente richiesta.

    Grazie a tale analisi concluse che il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di f in un punto (x, f(x)) fosse dato da

    m=\frac{y_{Q}-y_{P}}{x_{Q}-x_{P}}=\frac{y+dy-y}{x+dx-x}=\frac{dy}{dx}

    dove

    - dx rappresenta il differenziale infinitesimo della variabile indipendente dx;

    - dy invece rappresenta l'incremento che f(x) ha nel passare dal punto di ascissa x a quello di ascissa x+dx, ossia

    dy=f(x+dx)-f(x)

    Secondo Leibniz dunque la derivata di f(x) è data dalla seguente relazione

    \frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}=\frac{dy}{dx}= f'(x)\mbox{ con }dx\mbox{ infinitesimo}

    e trattandola come un vero e proprio quoziente, fu per lui ragionevole concludere che

    dy=f'(x)dx

    (Sottolineiamo che in questo contesto dy e dx sono infinitesimi e che, nell'Analisi Matematica standard, il passaggio algebrico è errato)

    Oltre ad aver fornito la soluzione al problema delle tangenti, Leibniz osservò che se dy rappresenta l'incremento infinitesimo subito dalla variabile y, la somma di tali incrementi ricostituirà y. Indicò tale somma con una S allungata e scrisse l'uguaglianza

    y=\int dy= \int f'(x)dx

    introducendo la notazione matematica di integrale che conosciamo tutt'oggi. Storicamente dunque l'integrale operava su differenziali e non su funzioni come succede nella sua accezione moderna.

    In un primo momento la nuova teoria sviluppata da Leibniz e, parallelamente, da Newton fu elogiata in tutta Europa perché permise la risoluzione di un numero spropositato di problemi legati alla Geometria (problema delle rette tangenti e problemi di quadratura) ed alla Fisica (lo studio del rapporto delle variazioni infinitesime di grandezze fisiche: la velocità istantanea ne è un esempio).

    Nella prima metà del 700, però, il vescovo Bishop George Berkeley lanciò una feroce invettiva sulla teoria proposta, sottolineando la vacuità del concetto stesso di differenziale infinitesimo. Ancora non era chiaro cosa fossero dy e dx: erano numeri reali? Erano una rappresentazione alternativa dello 0? Domande che al tempo rimasero senza risposta e destabilizzarono le fondamenta dell'idea di Leibniz.

    Molti furono i matematici contemporanei a Leibniz che tentarono di fornire una giustificazione esaustiva di infinitesimo, fallendo miseramente: tra essi ricordiamo Taylor e Mc Laurin, entrambi allievi di Newton. Il problema di definire correttamente cosa fosse un infinitesimo e quello su come creare una struttura che ne permettesse l'algebrizzazione rimasero insoluti per più di due secoli.

    Agli inizi dell'ottocento i Matematici sentirono la fortissima necessità di riformulare e formalizzare i concetti fondamentali dell'Analisi Matematica: lo scopo era quello di abolire i differenziali infinitesimi i quali risultavano essere matematicamente inconsistenti, nonostante funzionassero perfettamente nelle applicazioni fisiche e ingegneristiche.

    Fu introdotto il concetto di limite grazie al quale si diedero le definizioni formali di derivata e integrale così come li conosciamo oggi e, nello stesso tempo fece sì che i differenziali infinitesimi perdessero la loro importanza che sopravvissero nelle notazioni di derivata e di integrale fornite da Leibniz

    \frac{dy}{dx} \ \ \ ; \ \ \ \int_{a}^{b} f(x)dx

    osserviamo infatti che nel momento in cui si definisce derivata come limite del rapporto incrementale non si fa alcun riferimento al differenziale, così come non compare nella definizione odierna di integrale.

    Risposta di Ifrit
 
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