Soluzioni
  • Poniamo un vertice del triangolo nell'origine degli assi e chiamiamolo O. La base del triangolo sarà OA e chiamiamo H il piede dell'altezza tracciata da B.

    Ogni triangolo equilatero ha gli angoli interni di 60°, quindi per i teoremi della trigonometria sui triangoli rettangoli abbiamo che

    OB\cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=BH

    cioè

    OB=3\sqrt{3}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=6

    dunque i tre lati del triangolo OA,OB,BA misurano 6

    OA=OB=BA=6

    Nel piano cartesiano tale triangolo ha rappresentazione

     

    Triangolo equilatero in un problema trigonometrico

     

    Per calcolare l'area del triangolo trasformato, che chiamiamo OA'B', è sufficiente trovare i trasformati della base e dell'altezza del vecchio triangolo.

    Chiaramente il punto (0,0) viene trasformato in se stesso, infatti

    (0,0)\mapsto (3\cdot 0,2\cdot 0)=(0,0)

    Il punto A che determina la lunghezza della base, (abbiamo scelto di mettere un vertice del triangolo nell'origine per facilitare i conti), viene mandato in A' in questo modo

    (6,0)\mapsto (3\cdot 6,2\cdot 0)=(18,0)

    Quindi la misura della nuova base OA' è data da 18-0=18.

    Dobbiamo calcolare la nuova altezza: H, il piede dell'altezza, sta esattamente a metà della base del triangolo OAB cioè in x=3, l'altezza misura y=3\sqrt{3}, quindi il vertice B del triangolo ha coordinate

    B=(3,3\sqrt{3})

    la trasformazione agisce su B in questo modo:

    (3,3\sqrt{3})\mapsto (3\cdot 3, 2\cdot 3\sqrt{3})=(9, 6\sqrt{3})

    come vedi la nuova altezza si trova a x=9 che è ancora la metà della nuova base OA', ma misura esattamente il doppio: H'B'=6\sqrt{3}.

    L'area del triangolo OA'B' è dato da

    \frac{OA^{\prime}\cdot H^{\prime}B^{\prime}}{2}=\frac{18\cdot 6\sqrt{3}}{2}=54\sqrt{3}

    Risposta di Alpha
 
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