Soluzioni
  • Dimostrare che 1=0 è impossibile. Quando si legge una qualsiasi presunta dimostrazione dell'identità 1=0 è bene non fraintendere, perché si tratta di un semplice esercizio stilistico per evidenziare l'importanza delle fondamentali regole algebriche.

    Di norma tutte le finte dimostrazioni di 1=0 servono a far vedere che, se non si rispetta anche solo una regola algebrica di base, si finisce con l'ottenere un risultato assurdo.

    Alcuni professori usano questa dimostrazione anche per richiamare l'attenzione su una parte del secondo principio di equivalenza per le equazioni spesso dimenticata dagli studenti.

    1=0 - "dimostrazione"

    Per dimostrare che 1=0 si parte col supporre che a \mbox{ e } b siano due numeri naturali rispettivamente uguali ad 1 ed a 0

    \\ a=1 \\ \\ b=0

    Dal momento che, ovviamente

    1=1+0

    sostituendo 1 con a e 0 con b si ricade nella seguente relazione

    a=a+b

    A questo punto moltiplichiamo ambo i membri per (a-b)

    a(a-b)=(a+b)(a-b)

    da cui, svolgendo il prodotto, si ottiene

    a^2-ab=a^2-b^2

    Per il primo principio di equivalenza possiamo sottrarre ad entrambi i membri dell'equazione precedente la quantità a^2

    a^2-ab-a^2=a^2-b^2-a^2

    da cui, semplificando

    -ab=-b^2

    Ora, dividendo ambo i membri per -b si ricava

    \frac{-ab}{-b}=-\frac{-b^2}{-b}

    ossia

    a=b

    Ricordando che avevamo imposto a=1 \mbox{ e } b=0 abbiamo proprio che

    1=0

    ***

    Evidentemente 1 è un numero diverso da 0. Quindi dove sta l'inganno? Rileggete con attenzione la dimostrazione. Verso la fine abbiamo diviso per -b.

    Potevamo farlo? Assolutamente no!

    All'inizio infatti abbiamo supposto b=0 ed il secondo principio di equivalenza dice che per ottenere un'equazione equivalente a quella data si possono moltiplicare o dividere entrambi i membri per una stessa quantità, solo a patto che quest'ultima sia diversa da zero.

    Quella che abbiamo proposto è solo una delle tante varianti di "dimostrazioni" dell'identità 1=0, ma rende l'idea alla perfezione. ;)

    PS: per un ripasso sulle equazioni - click!

    Risposta di Galois
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