Soluzioni
  • Dimostrare che 1=0 è impossibile: quando si legge una presunta dimostrazione dell'uguaglianza 1=0 è bene non fraintendere, perché si tratta di un semplice esercizio stilistico per evidenziare l'importanza delle regole algebriche fondamentali.

    Di norma tutte le finte dimostrazioni di 1=0 servono a mostrare che se non si rispettano le regole algebriche di base si ottiene un risultato assurdo, quale è appunto l'uguaglianza 1=0.

    Nello specifico alcuni professori usano questa falsa dimostrazione per richiamare l'attenzione su una parte del secondo principio di equivalenza spesso dimenticata dagli studenti.

    1=0 - "dimostrazione"

    Per "dimostrare" che 1=0 consideriamo due numeri naturali a,b rispettivamente uguali a 1 e a 0

    a = 1 ; b = 0

    Consideriamo la seguente identità

    1 = 1+0

    e sostituiamo 1 = a e 0 = b

    a = a+b

    A questo punto moltiplichiamo ambo i membri per (a-b)

    a(a-b) = (a+b)(a-b)

    e svolgiamo le moltiplicazioni tra polinomi

    a^2-ab = a^2-b^2

    Applichiamo il primo principio di equivalenza e sottraiamo a entrambi i membri dell'equazione la quantità a^2

    a^2-ab-a^2 = a^2-b^2-a^2

    da cui, semplificando

    -ab = -b^2

    Dividiamo ambo i membri per -b

    (-ab)/(-b) = -(-b^2)/(-b)

    e otteniamo

    a = b

    Poiché avevamo imposto che fosse a = 1 e b = 0, dalla precedente uguaglianza segue che 1=0.

    Evidentemente però 1 è un numero diverso da 0, quindi dove sta l'inganno? Rileggendo la dimostrazione possiamo notare che a un certo punto abbiamo diviso per -b.

    Potevamo farlo? Assolutamente no.

    Inizialmente avevamo supposto b = 0. Il secondo principio di equivalenza stabilisce che, per ottenere un'equazione equivalente a quella data, si possono moltiplicare o dividere entrambi i membri per una stessa quantità a patto che essa sia diversa da zero.

    ***

    Per concludere ci sembra doveroso consigliarti la lettura della lezione sui principi di equivalenza delle equazioni - click!

    Risposta di Galois
 
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