Soluzioni
  • y=e^x+1 ed y=e^x-1 sono due funzioni reali di variabile reale il cui grafico si ottiene traslando, rispettivamente verso l'alto e verso il basso, il grafico della funzione esponenziale y=e^x.

     

    e x 1

     

    Così come spiegato nella lezione sul grafico intuitivo di una funzione:

    - il grafico della funzione y=e^x+1 si ottiene traslando verso l'alto, di una unità, il grafico della funzione y=e^x;

    - il grafico della funzione y=e^x-1 si ricava traslando verso il basso, di un'unità, il grafico della funzione esponenziale.

    Proprietà della funzione y=e^x+1

    La funzione

    f(x)=e^x+1

    gode delle proprietà elencate qui di seguito.

    - Ha come dominio l'insieme \mathbb{R} dei numeri reali.

    - Ha come immagine: (1, +\infty).

    - È una funzione né pari né dispari.

    - I limiti agli estremi del dominio valgono

    \\ \lim_{x\to -\infty} (e^x+1) = 1 \\ \\ \lim_{x\to +\infty} (e^x+1) = +\infty

    da cui si deduce che y=e^x+1 è una funzione illimitata superiormente avente la retta y=1 come asintoto orizzontale sinistro.

    - È convessa su tutto il dominio.

    - È una funzione continua e derivabile su tutto \mathbb{R}.

    - Non ha intersezioni con l'asse x ed interseca l'asse delle ordinate nel punto di coordinate (0,2).

    Proprietà della funzione y=e^x-1

    Le proprietà di cui gode la funzione

    g(x)=e^x-1

    sono le seguenti:

    - il suo dominio è tutto \mathbb{R}.

    - La sua immagine è l'intervallo (-1, +\infty).

    - È una funzione né pari né dispari.

    - I limiti agli estremi del dominio valgono

    \\ \lim_{x\to -\infty} (e^x-1) = -1 \\ \\ \lim_{x\to +\infty} (e^x-1) = +\infty

    e da tali limiti deduciamo che la funzione y=e^x-1 è una funzione illimitata superiormente avente la retta y=-1 come asintoto orizzontale sinistro.

    - È una funzione convessa su tutto il dominio.

    - È continua e derivabile su tutto \mathbb{R}.

    - Passa per l'origine degli assi.

    Equazioni e^x+1=0 ed e^x-1=0

    Le equazioni

    e^x+1=0\ \ \ ;\ \ \ e^x-1=0

    sono due equazioni esponenziali elementari.

    Per risolverle la prima cosa da fare è portare il termine noto a secondo membro, ricadendo così nelle equazioni

    \\ e^x=-1\ \ \ ;\ \ \ e^x=1

    Analizziamole singolarmente.

    1) L'equazione

    e^x=-1

    non ammette soluzioni in quanto la funzione esponenziale assume valori positivi, ossia non esiste alcun valore della variabile x per il quale e^x possa essere uguale a -1.

    2) L'equazione

    e^x=1

    ammette come unica soluzione x=0 e per scoprire tutti i metodi che permettono di risolvere questa equazione rimandiamo alla pagina sulla risoluzione dell'equazione e^x=1.

    Per vedere come si risolvono le disequazioni e^x+1>0 ed e^x-1>0 potete leggere la nostra lezione sulle disequazioni esponenziali.

    Risposta di Galois
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