e^x+1 ed e^x-1

y=e^x+1 ed y=e^x-1 sono due funzioni reali di variabile reale i cui grafici si ottengono traslando, rispettivamente verso l'alto e verso il basso, il grafico della funzione esponenziale y=e^x.

Così come spiegato nella lezione sul grafico intuitivo di una funzione:

- il grafico della funzione si ottiene traslando verso l'alto, di una unità, il grafico della funzione ;

- il grafico della funzione si ricava traslando verso il basso, di un'unità, il grafico della funzione esponenziale.

Proprietà della funzione y=e^x+1

La funzione

gode delle proprietà elencate qui di seguito.

- Ha come dominio l'insieme dei numeri reali.

- Ha come immagine: .

- È una funzione né pari né dispari.

- I limiti agli estremi del dominio valgono

da cui si deduce che è una funzione illimitata superiormente avente la retta come asintoto orizzontale sinistro.

- È convessa su tutto il dominio.

- È una funzione continua e derivabile su tutto .

- Non ha intersezioni con l'asse x ed interseca l'asse delle ordinate nel punto di coordinate (0,2).

Proprietà della funzione y=e^x-1

Le proprietà di cui gode la funzione

sono le seguenti:

- il suo dominio è tutto .

- La sua immagine è l'intervallo .

- È una funzione né pari né dispari.

- I limiti agli estremi del dominio valgono

e da tali limiti deduciamo che la funzione è una funzione illimitata superiormente avente la retta come asintoto orizzontale sinistro.

- È una funzione convessa su tutto il dominio.

- È continua e derivabile su tutto .

- Passa per l'origine degli assi.

Equazioni e^x+1=0 ed e^x-1=0

Le equazioni

sono due equazioni esponenziali elementari.

Per risolverle la prima cosa da fare è portare il termine noto a secondo membro, ricadendo così nelle equazioni

Analizziamole singolarmente.

1) L'equazione

non ammette soluzioni in quanto la funzione esponenziale assume valori positivi, ossia non esiste alcun valore della variabile per il quale possa essere uguale a -1.

2) L'equazione

ammette come unica soluzione x=0 e per scoprire tutti i metodi che permettono di risolvere questa equazione rimandiamo alla pagina sulla risoluzione dell'equazione e^x=1.

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Per vedere come si risolvono le disequazioni e^x+1>0 ed e^x-1>0 potete leggere la nostra lezione sulle disequazioni esponenziali.