e^x+1 ed e^x-1

Giuseppe Carichino (Galois) -

Cosa rappresentano y=e^x+1 ed y=e^x-1? Potreste mostrarmi tutte le proprietà di cui godono queste funzioni, il loro grafico, e dirmi quali sono le soluzioni delle equazioni e^x+1=0 ed e^x-1=0?

Soluzione

y=e^x+1 ed y=e^x-1 sono due funzioni reali di variabile reale i cui grafici si ottengono traslando, rispettivamente verso l'alto e verso il basso, il grafico della funzione esponenziale y=e^x.

y=e^x+1, y=e^x-1

Così come spiegato nella lezione sul grafico intuitivo di una funzione:

- il grafico della funzione y = e^x+1 si ottiene traslando verso l'alto, di una unità, il grafico della funzione y = e^x;

- il grafico della funzione y = e^x-1 si ricava traslando verso il basso, di un'unità, il grafico della funzione esponenziale.

Proprietà della funzione y=e^x+1

La funzione

f(x) = e^x+1

gode delle proprietà elencate qui di seguito.

- Ha come dominio l'insieme R dei numeri reali.

- Ha come immagine: (1,+∞).

- È una funzione né pari né dispari.

- I limiti agli estremi del dominio valgono

lim_(x → -∞) (e^x+1) = 1 ; lim_(x → +∞) (e^x+1) = +∞

da cui si deduce che y = e^x+1 è una funzione illimitata superiormente avente la retta y = 1 come asintoto orizzontale sinistro.

- È convessa su tutto il dominio.

- È una funzione continua e derivabile su tutto R.

- Non ha intersezioni con l'asse x ed interseca l'asse delle ordinate nel punto di coordinate (0,2).

Proprietà della funzione y=e^x-1

Le proprietà di cui gode la funzione

g(x) = e^x-1

sono le seguenti:

- il suo dominio è tutto R.

- La sua immagine è l'intervallo (-1,+∞).

- È una funzione né pari né dispari.

- I limiti agli estremi del dominio valgono

lim_(x → -∞) (e^x-1) = -1 ; lim_(x → +∞) (e^x-1) = +∞

e da tali limiti deduciamo che la funzione y = e^x-1 è una funzione illimitata superiormente avente la retta y = -1 come asintoto orizzontale sinistro.

- È una funzione convessa su tutto il dominio.

- È continua e derivabile su tutto R.

- Passa per l'origine degli assi.

Equazioni e^x+1=0 ed e^x-1=0

Le equazioni

e^x+1 = 0 ; e^x-1 = 0

sono due equazioni esponenziali elementari.

Per risolverle la prima cosa da fare è portare il termine noto a secondo membro, ricadendo così nelle equazioni

e^x = -1 ; e^x = 1

Analizziamole singolarmente.

1) L'equazione

e^x = -1

non ammette soluzioni in quanto la funzione esponenziale assume valori positivi, ossia non esiste alcun valore della variabile x per il quale e^x possa essere uguale a -1.

2) L'equazione

e^x = 1

ammette come unica soluzione x=0 e per scoprire tutti i metodi che permettono di risolvere questa equazione rimandiamo alla pagina sulla risoluzione dell'equazione e^x=1.

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Per vedere come si risolvono le disequazioni e^x+1>0 ed e^x-1>0 potete leggere la nostra lezione sulle disequazioni esponenziali.

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