Congettura di Polignac

Autore: Giuseppe Carichino (Galois) -
Ultimo aggiornamento:

Qual è la congettura di Polignac? Ho letto qualcosa tempo fa e credo riguardi i numeri primi, ma non ne sono sicuro. Potreste scrivere l'enunciato della congettura di Polignac e spiegarmelo in parole semplici, magari con qualche esempio?

La congettura di Polignac è stata dimostrata, oppure è ancora irrisolta?

Infine è vero che la congettura di Polignac è una generalizzazione della congettura dei primi gemelli?

Soluzione

La congettura di Polignac stabilisce che per ogni numero naturale diverso da zero esistono infinite coppie di numeri primi consecutivi la cui differenza è il doppio del numero considerato.

Significato della congettura di Polignac

In altri termini, se n è un numero naturale diverso da zero, secondo la congettura di Polignac esistono infinite coppie di numeri primi consecutivi tali che la differenza tra il maggiore e il minore di essi è 2n.

Questa congettura prende il nome da Alphonse de Polignac, un matematico francese che la formulò nel lontano 1849. Per comprenderne appieno l'enunciato vediamo qualche esempio.

• Consideriamo il numero naturale n = 1.

Per la congettura di Polignac esistono infinite coppie di numeri primi consecutivi la cui differenza è 2n = 2. Alcune coppie di numeri primi che soddisfano questa ipotesi sono

(3, 5) ; (5, 7) ; (11, 13) ; (17, 19) ; (29, 31) ; (41, 43) ; (59, 61) ; (71, 73) ; (101, 103)

e potremmo continuare. Il vero problema è quello di dimostrare (o confutare) che queste coppie di numeri primi sono infinite, e finora non ci è riuscito nessuno.

È bene sapere che due numeri primi tali che la differenza tra il maggiore e il minore di essi è uguale a 2 sono detti numeri primi gemelli, e che esiste una congettura dedicata ad essi e formulata nel 300 a.C. da Eulero. Tale congettura asserisce che esistono infiniti numeri primi p tali che anche p+2 è un numero primo.

Secondo la congettura dei primi gemelli esistono quindi infinite coppie di numeri primi tali che la differenza tra il maggiore e il minore di essi è uguale a 2.

Leggendo quest'ultima formulazione è evidente che la congettura di Polignac è una generalizzazione della congettura dei primi gemelli.

• Consideriamo ora n = 2. Secondo la congettura di Polignac esistono infinite coppie di numeri primi consecutivi la cui differenza è 2n = 4.

Anche in questo caso non è difficile trovare qualche coppia di numeri primi che soddisfa tale ipotesi. Ne è un esempio la coppia (7, 11), infatti 11-7=4.

Numeri primi di questo tipo vengono detti primi cugini, e anche in questo caso il problema è dimostrare (o confutare) che i numeri primi cugini sono infiniti.

***

Ad oggi la congettura di Polignac non è stata né dimostrata né confutata per alcun valore di n, e proprio per questo motivo rimane una congettura matematica. Se vuoi sapere in dettaglio cos'è una congettura, e leggere altri esempi, ti rimandiamo all'approfondimento del link. ;)

Domande della categoria Wiki - Algebra
Esercizi simili e domande correlate