Congettura di Polignac
Qual è la congettura di Polignac? Ho letto qualcosa tempo fa e credo riguardi i numeri primi, ma non ne sono sicuro. Potreste scrivere l'enunciato della congettura di Polignac e spiegarmelo in parole semplici, magari con qualche esempio?
La congettura di Polignac è stata dimostrata, oppure è ancora irrisolta?
Infine è vero che la congettura di Polignac è una generalizzazione della congettura dei primi gemelli?
La congettura di Polignac stabilisce che per ogni numero naturale diverso da zero esistono infinite coppie di numeri primi consecutivi la cui differenza è il doppio del numero considerato.
Significato della congettura di Polignac
In altri termini, se n è un numero naturale diverso da zero, secondo la congettura di Polignac esistono infinite coppie di numeri primi consecutivi tali che la differenza tra il maggiore e il minore di essi è 2n.
Questa congettura prende il nome da Alphonse de Polignac, un matematico francese che la formulò nel lontano 1849. Per comprenderne appieno l'enunciato vediamo qualche esempio.
• Consideriamo il numero naturale 
.
Per la congettura di Polignac esistono infinite coppie di numeri primi consecutivi la cui differenza è 
. Alcune coppie di numeri primi che soddisfano questa ipotesi sono
(3, 5) ; (5, 7) ; (11, 13) ; (17, 19) ; (29, 31) ; (41, 43) ; (59, 61) ; (71, 73) ; (101, 103)
e potremmo continuare. Il vero problema è quello di dimostrare (o confutare) che queste coppie di numeri primi sono infinite, e finora non ci è riuscito nessuno.
È bene sapere che due numeri primi tali che la differenza tra il maggiore e il minore di essi è uguale a 2 sono detti numeri primi gemelli, e che esiste una congettura dedicata ad essi e formulata nel 300 a.C. da Eulero. Tale congettura asserisce che esistono infiniti numeri primi 
tali che anche 
è un numero primo.
Secondo la congettura dei primi gemelli esistono quindi infinite coppie di numeri primi tali che la differenza tra il maggiore e il minore di essi è uguale a 2.
Leggendo quest'ultima formulazione è evidente che la congettura di Polignac è una generalizzazione della congettura dei primi gemelli.
• Consideriamo ora 
. Secondo la congettura di Polignac esistono infinite coppie di numeri primi consecutivi la cui differenza è 
.
Anche in questo caso non è difficile trovare qualche coppia di numeri primi che soddisfa tale ipotesi. Ne è un esempio la coppia (7, 11), infatti 11-7=4.
Numeri primi di questo tipo vengono detti primi cugini, e anche in questo caso il problema è dimostrare (o confutare) che i numeri primi cugini sono infiniti.
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Ad oggi la congettura di Polignac non è stata né dimostrata né confutata per alcun valore di 
, e proprio per questo motivo rimane una congettura matematica. Se vuoi sapere in dettaglio cos'è una congettura, e leggere altri esempi, ti rimandiamo all'approfondimento del link. ;)