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  • La congettura di Polignac stabilisce che per ogni numero naturale diverso da zero esistono infinite coppie di numeri primi consecutivi la cui differenza è il doppio del numero considerato.

    Significato della congettura di Polignac

    In altri termini, se n è un numero naturale diverso da zero, secondo la congettura di Polignac esistono infinite coppie di numeri primi consecutivi tali che la differenza tra il maggiore e il minore di essi è 2n.

    Questa congettura prende il nome da Alphonse de Polignac, un matematico francese che la formulò nel lontano 1849. Per comprenderne appieno l'enunciato vediamo qualche esempio.

    • Consideriamo il numero naturale n = 1.

    Per la congettura di Polignac esistono infinite coppie di numeri primi consecutivi la cui differenza è 2n = 2. Alcune coppie di numeri primi che soddisfano questa ipotesi sono

    (3, 5) ; (5, 7) ; (11, 13) ; (17, 19) ; (29, 31) ; (41, 43) ; (59, 61) ; (71, 73) ; (101, 103)

    e potremmo continuare. Il vero problema è quello di dimostrare (o confutare) che queste coppie di numeri primi sono infinite, e finora non ci è riuscito nessuno.

    È bene sapere che due numeri primi tali che la differenza tra il maggiore e il minore di essi è uguale a 2 sono detti numeri primi gemelli, e che esiste una congettura dedicata ad essi e formulata nel 300 a.C. da Eulero. Tale congettura asserisce che esistono infiniti numeri primi p tali che anche p+2 è un numero primo.

    Secondo la congettura dei primi gemelli esistono quindi infinite coppie di numeri primi tali che la differenza tra il maggiore e il minore di essi è uguale a 2.

    Leggendo quest'ultima formulazione è evidente che la congettura di Polignac è una generalizzazione della congettura dei primi gemelli.

    • Consideriamo ora n = 2. Secondo la congettura di Polignac esistono infinite coppie di numeri primi consecutivi la cui differenza è 2n = 4.

    Anche in questo caso non è difficile trovare qualche coppia di numeri primi che soddisfa tale ipotesi. Ne è un esempio la coppia (7, 11), infatti 11-7=4.

    Numeri primi di questo tipo vengono detti primi cugini, e anche in questo caso il problema è dimostrare (o confutare) che i numeri primi cugini sono infiniti.

    ***

    Ad oggi la congettura di Polignac non è stata né dimostrata né confutata per alcun valore di n, e proprio per questo motivo rimane una congettura matematica. Se vuoi sapere in dettaglio cos'è una congettura, e leggere altri esempi, ti rimandiamo all'approfondimento del link. ;)

    Risposta di Galois
 
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