Congettura di Polignac

La congettura di Polignac afferma che per ogni numero naturale diverso da zero esistono infinite coppie di numeri primi la cui differenza è il doppio di quel numero.

In altri termini, se è un numero naturale diverso da zero, secondo la congettura di Polignac esistono infinite coppie di numeri primi la cui differenza è .

Per capire la congettura di Polignac facciamo qualche esempio.

1) Consideriamo il numero naturale .

Per la congettura di Polignac esistono infinite coppie di numeri primi la cui differenza è . Alcune coppie di numeri primi che soddisfano questa ipotesi sono

(3,5) (5,7) (11,13) (17,19) (29,31) (41,43) (59,61) (71,73) (101,103)

Il vero problema è quindi quello di dimostrare che tali coppie di numeri sono infinite, e finora non è stato ancora dimostrato.

È curioso sapere che le coppie di numeri primi la cui differenza è pari a 2 sono dette coppie di numeri primi gemelli, quindi la congettura di Polignac è una generalizzazione della congettura dei primi gemelli, la quale afferma proprio che esistono infinite coppie di numeri primi la cui differenza è uguale a 2.

2) Se consideriamo , allora secondo la congettura di Polignac esistono infinite coppie di numeri primi la cui differenza è .

Anche in questo caso non è difficile trovare qualche coppia di numeri primi che soddisfa questa ipotesi; (3,7) e (7,11) ne sono un esempio, infatti 7-3=4 e 11-7=4.

Numeri primi di questo tipo vengono detti primi cugini e il problema è dimostrare che i primi cugini sono infiniti.

Ad oggi, la congettura di Polignac non è stata né dimostrata né confutata e proprio per questo rimane una congettura matematica. ;)