Congettura di Poincaré

La congettura di Poincaré stabilisce che ogni 3-varietà semplicemente connessa e chiusa è omeomorfa a una 3-sfera; è stata dimostrata da Grigori Perelman nel 2003, e a seguito di tale conseguimento il matematico russo è stato insignito della medaglia Fields nel 2006.

Significato della congettura di Poincaré

La congettura di Poincaré è stata per quasi un secolo uno dei più importanti problemi irrisolti della Topologia, ed è stata definitivamente risolta grazie alla dimostrazione di Perelman del 2006, in forza della quale ha perso il proprio status di congettura.

La congettura di Poincaré stabiliva che ogni 3-varietà semplicemente connessa e chiusa è omeomorfa a una 3-sfera.

Nel suo enunciato originario la congettura di Poincaré è di difficile comprensione, e magari risulterà più chiara espressa nel modo seguente: la 3-sfera è l'unica 3-varietà senza buchi, cioè dove qualsiasi cammino chiuso può essere contratto fino a diventare un punto.

Senza scendere eccessivamente nel dettaglio, la 3-sfera e la nozione di 3-varietà sono, rispettivamente, la generalizzazione della sfera e del concetto di superficie in uno spazio a 4 dimensioni. La congettura di Poincaré affermava quindi che la 3-sfera, così come avviene per la sfera, è l'unica varietà chiusa che sia priva di buchi.

Per dare un'idea concreta di ciò che afferma la congettura di Poincaré consideriamo un pallone da calcio avvolto da un elastico. Come mostrato nella seguente immagine, supponiamo di stringere l'elastico fino a ridurlo a un punto, senza mai staccarlo dalla superficie del pallone e senza mai tagliarlo.

Poiché l'intento è realizzabile si dice che il pallone da calcio, e quindi quella che i topologi chiamano 2-sfera e che noi conosciamo come sfera, è una superficie semplicemente connessa.

La congettura di Poincaré si proponeva di dimostrare che la 3-sfera, ossia l'analogo della sfera in 4 dimensioni, è l'unica 3-varietà semplicemente connessa.

Perelman, la congettura di Poincaré e la medaglia Fields

Come già anticipato, il matematico russo Perelman risolse definitivamente la congettura di Poincaré nel 2003, motivo per cui venne proclamato vincitore della medaglia Fields nel 2006.

L'aspetto più curioso della vicenda è che Perelman rifiutò la medaglia Fields, ma non solo: rifiutò anche il premio Clay di 1 milione di dollari che era stato messo in palio per chi fosse riuscito nell'intento di dimostrare la congettura di Poincaré.

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È tutto! Se vuoi saperne di più sul significato di congettura, o se vuoi leggere altri esempi di congetture, puoi leggere l'approfondimento del precedente link. ;)