Soluzioni
  • La congettura di Poincaré è stato per quasi un secolo uno dei più importanti problemi irrisolti della topologia. Oggi però non è più una congettura, infatti è stata dimostrata da Grigori Perelman nel 2003, medaglia Fields nel 2006.

    La congettura di Poincaré affermava che ogni 3-varietà semplicemente connessa e chiusa è omeomorfa ad una 3-sfera.

    Enunciata in tal modo la congettura di Poincaré è di difficile comprensione e magari risulterà più chiara espressa nel modo seguente: la 3-sfera è l'unica 3-varietà senza buchi, cioè dove qualsiasi cammino chiuso può essere contratto fino a diventare un punto.

    Senza scendere troppo nel dettaglio, la 3-sfera e la 3-varietà sono, rispettivamente, la generalizzazione della sfera e la generalizzazione del concetto di superficie in uno spazio a quattro dimensioni. Quindi la congettura di Poincaré affermava che la 3-sfera, così come avviene per la sfera, è l'unica varietà chiusa che sia priva di buchi.

    Per dare un'idea concreta di ciò che afferma la congettura di Poincaré prendiamo un pallone da calcio avvolto da un elastico. Come mostrato nell'immagine seguente supponiamo di stringere l'elastico fino a ridurlo ad un punto, senza mai staccarlo dalla superficie del pallone e senza mai tagliarlo.

    Congettura di Poincaré

    Poiché si riesce nell'intento si dice che il pallone da calcio, e quindi quella che i topologi chiamano 2-sfera e che noi conosciamo come sfera, è una superficie semplicemente connessa.

    La congettura di Poincaré si proponeva di dimostrare che la 3-sfera, ossia l'analogo della sfera in 4 dimensioni, è l'unica 3-varietà semplicemente connessa.

    Come anticipato ci riuscì il russo Perelman ed è curioso sapere che rifiutò sia la medaglia Fields che il premio Clay di 1 milione di dollari messo in palio per chi fosse riuscito nell'intento di dimostrare la congettura di Poincaré. ;)

    Risposta di Galois
 
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