Numeri primi gemelli
Cosa sono i numeri primi gemelli? Potreste spiegare la definizione di numeri gemelli, proporre qualche esempio ed elencare le principali proprietà di cui godono questi numeri?
Qual è la più grande coppia di numeri primi gemelli che è stata scoperta, e qual è la più piccola?
Se ben ricordo esiste una congettura sui numeri primi gemelli. Eventualmente sapreste dirmi cosa afferma, e se è stata dimostrata oppure confutata?
Due numeri primi gemelli sono numeri primi qualsiasi che differiscono per 2 unità; in modo equivalente due numeri primi sono gemelli se la differenza tra il maggiore e il minore di essi è uguale a 2, dunque due numeri primi gemelli sono una coppia di primi della forma (p, p+2).
Esempi di numeri primi gemelli
La più piccola coppia di numeri primi gemelli è (3, 5).
Altri esempi di coppie di numeri gemelli sono (5, 7) ; (11, 13) ; (17, 19) ; (29, 31) ; (41, 43) ; (59, 61) ; (71, 73) ; (101, 103) ; (107,109) ; (137, 139) ; (149, 151) ; (179, 181) ; (191, 193) ; (197, 199) ; (227, 229) ; (239, 241) ; (269, 271) ; (281, 283) ; (311, 313) ; (347, 349) ; (419, 421) ; (431, 433) ; (461, 463) ; (521, 523) ; (569, 571) ; (599, 601) ; (617, 619) ; (641, 643) ; (659, 661) ; (809, 811) ; (821, 823) ; (827, 829) ; (857, 859) ; (881, 883).
Nel 2016 lo statunitense Tom Greer ha scoperto la più grande coppia di primi gemelli ad oggi conosciuta. Si tratta di due numeri primi con ben 388342 cifre:
Proprietà dei numeri primi gemelli
La principale proprietà dei primi gemelli riguarda il modo in cui si possono esprimere. Si può infatti dimostrare che, ad eccezione della coppia (3, 5), ogni altra coppia di numeri primi gemelli è della forma 
dove 
è un opportuno numero naturale.
Attenzione però, perché non vale il viceversa! Non è vero che ogni coppia di numeri della forma , con 
, è una coppia di primi gemelli.
Ad esempio per 
si ottengono i numeri
che non formano una coppia di primi gemelli, perché 35 non è un numero primo.
Da questa proprietà ne seguono altre due. Sempre escludendo la coppia (3, 5) si ha che:
• il numero compreso tra due numeri primi gemelli è della forma 
, e quindi è un multiplo di 6;
• la somma di due numeri primi gemelli è della forma 
, e quindi è un multiplo di 12.
Congettura dei numeri primi gemelli
La congettura dei primi gemelli è una famosa congettura della teoria dei numeri primi, ossia una proprietà che non è ancora stata dimostrata né confutata.
La congettura dei primi gemelli è stata formulata nel 300 a.C. da Euclide, e stabilisce che esistono infiniti numeri primi 
tali che anche 
è un numero primo; in altri termini che esistono infinite coppie di numeri primi gemelli.
Molti matematici ritengono che sia vera, ma non essendo ancora stata dimostrata non possiamo dire nulla di certo sul numero di coppie primi gemelli: si ritiene che siano infinite, ma non se ne ha la certezza assoluta.
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Ci fermiamo qui, ma se volessi saperne di più sui numeri primi - click!
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