Condizioni sufficienti per l'uniforme continuità

Qui mi limito a presentare i teoremi che forniscono le principali condizioni sufficienti per l'uniforme continuità e che permettono di bypassare la definizione, molto scomoda da utilizzare all'atto pratico.

Naturalmente prima di proseguire nella lettura è opportuno aver digerito la definizione di funzione uniformemente continua. ;)

In una pagina a parte presenteremo l'altra faccia della medaglia, proponendo le condizioni necessarie per l'uniforme continuità.

1) Teorema di Heine-Cantor

Il primo teorema che presentiamo è il teorema di Heine-Cantor (leggasi Áine-Càntor), il quale ci assicura che una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato è necessariamente uniformemente continua.

L'enunciato del teorema di Heine-Cantor è il seguente: siano un intervallo chiuso e limitato e sia una funzione definita in . Se è continua sull'intervallo allora è uniformemente continua su .

Attenzione! Il teorema di Heine-Cantor viene spesso chiesto in sede d'esame ed è strettamente collegato al teorema sull'integrabilità di funzioni continue. Consigliamo di studiare sia l'enunciato che la dimostrazione così da arrivare ben preparati all'orale.

Per chi volesse approfondire: dimostrazione del teorema di Heine Cantor.

Esempio sul teorema di Heine-Cantor

Mostriamo che

è una funzione uniformemente continua in mediante l'uso del teorema di Heine-Cantor.

L'intervallo è chiuso e limitato e è una funzione continua in perché composizione di funzioni continue, dunque le ipotesi del teorema sono soddisfatte. Concludiamo pertanto che è uniformemente continua in .

Sottolineiamo che il teorema non può essere applicato se:

- l'intervallo non è chiuso o non è limitato. In tal caso dobbiamo necessariamente utilizzare altre tecniche per mostrare o meno l'uniforme continuità di ;

- la funzione non è continua sull'intervallo. In tal caso però possiamo concludere immediatamente che non è uniformemente continua sull'intervallo considerato.

2) Teorema sull'uniforme continuità del prolungamento continuo 

Nel caso in cui l'intervallo sia limitato, ma non chiuso, il teorema di Heine Cantor non può fornirci informazioni sull'uniforme continuità. In questi casi può essere estremamente utile il teorema sull'uniforme continuità del prolungamento continuo di una funzione.

In parole povere se una funzione continua è prolungabile con continuità in un intervallo chiuso e limitato allora è uniformemente continua.

L'enunciato formale è il seguente: sia un intervallo limitato e sia una funzione continua in . Se esistono e sono finiti i limiti

allora è uniformemente continua in . Se, invece, uno dei due limiti è infinito oppure non esiste, allora non è uniformemente continua.

Osserviamo che l'intervallo può presentarsi anche nella forma .

Esempio sul teorema sull'uniforme continuità del prolungamento continuo

La funzione

è uniformemente continua su perché è chiaramente una funzione continua nell'intervallo considerato, e inoltre il limite per di è zero perché il logaritmo tende a quando il suo argomento diventa infinitesimo:

Il teorema ci assicura che è uniformemente continua sull'intervallo considerato.

3) Teorema dell'asintoto

Il teorema di Heine-Cantor e il teorema del prolungamento risultano essere molto utili nel momento in cui l'intervallo su cui studiamo l'uniforme continuità è almeno limitato, ma non possono fornirci alcuna informazione nel caso in cui l'intervallo sia illimitato.

In queste situazioni potrebbe aiutarci il teorema dell'asintoto: esso assicura che, se una funzione continua in un intervallo illimitato (a destra o a sinistra) ammette un asintoto orizzontale o un asintoto obliquo, allora essa è uniformemente continua.

L'enunciato del teorema del teorema dell'asintoto può essere formalizzato come segue. Sia una funzione continua in . Se esiste finito il limite:

(ossia se la funzione ammette asintoto orizzontale) allora è uniformemente continua in .

Per chi volesse approfondire: dimostrazione del teorema dell'asintoto.

Esempio sul teorema dell'asintoto

La funzione

è uniformemente continua nell'intervallo perché è ivi continua ed è dotata di asintoto orizzontale per . Infatti

e le ipotesi del teorema dell'asintoto sono soddisfatte.

4) Lipschitzianità e uniforme continuità 

Un'ulteriore condizione sufficiente per l'uniforme continuità in un intervallo (limitato o illimitato) è data dalla lipschitzianità di .

A tal proposito sussiste il teorema sull'uniforme continuità di una funzione lipschitziana: sia una funzione lipschitziana nell'intervallo , allora è uniformemente continua in .

Attenzione! Questo teorema è molto delicato e viene richiesto spesso in sede di esame orale, per cui è opportuno studiare la dimostrazione del teorema sull'uniforme continuità di una funzione lipschitziana e non farsi trovare impreparati. ;)

Esempio (uniforme continuità di una funzione lipschitziana)

La funzione valore assoluto

è uniformemente continua in perché essa è una funzione lipschitziana con costante di Lipschitz pari ad .

Il valore assoluto gode infatti della cosiddetta disuguaglianza triangolare inversa

5) Uniforme continuità delle funzioni con derivata limitata

Il criterio sull'uniforme continuità di una funzione lipschitziana ha un piccolo difetto: affinché possa essere usato è necessario dimostrare la lipschitzianità di , compito tutt'altro che banale.

A tal proposito risulta molto più duttile il teorema sull'uniforme continuità delle funzioni con derivata limitata, il quale assicura la continuità uniforme di una funzione sotto le ipotesi leggermente più forti.

Ecco l'enunciato: siano un intervallo reale e una funzione derivabile in . Se la derivata prima è una funzione limitata in allora è uniformemente continua in .

Traccia di dimostrazione: consideriamo un intervallo generico e usiamo il teorema di Lagrange, le cui ipotesi sono ovviamente rispettate. In pochissimi passaggi giungeremo all'espressione

e sfruttando l'ipotesi di limitatezza della derivata prima possiamo concludere che è lipschitziana, e dunque uniformemente continua per il teorema precedente.

Esempio sul teorema sull'uniforme continuità delle funzioni con derivata limitata

Mostriamo che la funzione

è uniformemente continua in .

Non facciamoci intimorire dalla presenza dell'arcotangente né tantomeno dalla funzione logaritmica: entrambe sono funzioni derivabili in e dunque è derivabile perché composizione di funzioni derivabili.

Calcoliamo la derivata prima con le usuali regole di derivazione nella speranza che sia limitata.

La derivata prima coincide con l'arcotangente, che è una funzione limitata su tutto l'asse reale. Possiamo quindi asserire che la funzione è uniformemente continua in .

6) Riepilogo delle implicazioni relative all'uniforme continuità

Per concludere questo lungo elenco riteniamo che sia utile scrivere la seguente catena di implicazioni che riassumono i risultati esposti:

***

Chi vuole ripassare o proseguire con lo studio dell'uniforme continuità può leggere:

- uniforme continuità

- condizioni necessarie per la continuità uniforme

- esercizi sulla continuità uniforme