Soluzioni
  • Premettiamo che qui ci occupiamo solamente dei teoremi sull'uniforme continuità che esprimono condizioni necessarie.

    Per i teoremi che esprimono condizioni sufficienti per l'uniforme continuità rimandiamo alla pagina del link.

    ***

    Due premesse fondamentali.

    - prima di procedere è bene avere piena dimestichezza con la definizione di continuità uniforme;

    - le condizioni necessarie che proponiamo qui di seguito possono essere utilizzate per negazione, ossia in termini pratici permettono di mostrare che una funzione non è uniformemente continua in un dato intervallo.

    Teorema (funzioni uniformemente continue mandano limitati in limitati)

    Se ci troviamo di fronte a funzioni definite su intervalli limitati, per le quali i teoremi che forniscono condizioni sufficienti sulla continuità uniforme non possono essere applicati, è probabile che tali funzioni non siano uniformemente continue... ma come possiamo esprimerci in modo certo e rigoroso?

    Una possibilità viene fornita dal seguente teorema: sia A\subset\mathbb{R} un intervallo limitato. Se f:A\to \mathbb{R} è una funzione uniformemente continua, allora l'immagine f(A) è limitata.

    Osservazione: se A è un intervallo ed f è (uniformemente) continua, allora anche f(A) è un intervallo per il teorema dei valori intermedi.

    L'enunciato può essere parafrasato come segue: ogni funzione uniformemente continua manda intervalli limitati in intervalli limitati.

    Fornendo una condizione necessaria, il risultato è molto più utile al negativo: se f(A) non è limitato allora certamente f(x) non è uniformemente continua su A.

    Quello che abbiamo appena scritto è un teorema davvero notevole: tra le altre cose, stabilisce implicitamente che una funzione con un asintoto verticale non può essere uniformemente continua su alcun intervallo con estremo nell'ascissa dell'asintoto verticale.

    Esempio (funzioni uniformemente continue mandano limitati in limitati) 

    La funzione logaritmica

    f(x)=\ln(x)

    non è uniformemente continua in (0,1) perché, nonostante l'intervallo di riferimento sia limitato, risulta che

    \lim_{x\to 0^{+}}\ln(x)=-\infty

    Ciò significa che x=0 è un asintoto verticale per la funzione, cosicché f(A) non è un intervallo limitato.

    Teorema della farfalla 

    Il teorema della farfalla fornisce una condizione necessaria per l'uniforme continuità. Esso assicura che una funzione uniformemente continua è necessariamente una funzione sublineare.

    L'enunciato del teorema della farfalla è il seguente: sia I un intervallo illimitato di \mathbb{R}. Se f:I\to\mathbb{R} è una funzione uniformemente continua allora esistono due costanti reali positive A\mbox{ e }B tali che:

    |f(x)|\le A|x|+B\mbox{ per ogni }x\in I

    ossia f(x) è una funzione sublineare su I.

    Perché questo teorema si presenta con un nome così curioso?

    Il grafico di f(x) è contenuto nella parte di piano limitata dalle funzioni y=A|x|+B e y=-A|x|-B, la quale ricorda vagamente la sagoma di una farfalla. :)

    La dimostrazione del teorema della farfalla è estremamente tecnica e preferiamo non occuparcene in questo contesto; meglio capire come sfruttare il teorema per mostrare che una data funzione NON è uniformemente continua.

    Esempio sul teorema della farfalla

    Mostriamo che

    f(x)=x^2

    non è una funzione uniformemente continua in I=[1, +\infty).

    Mostriamo che la funzione f non è sublineare. Se lo fosse esisterebbero due costanti reali positive A\mbox{ e }B tali che

    |x^2|\le A|x|+B\mbox{ per ogni }x\in[1, +\infty)

    Poiché x varia in [1, +\infty) il valore assoluto al secondo membro non serve. Inoltre x^2\geq 0\ \forall x

    x^2\le Ax+B\mbox{ per ogni }x\in[1, +\infty)

    Dividiamo membro a membro per la quantità positiva Ax+B, così da ottenere

    \frac{x^2}{Ax+B}\le 1\mbox{ per ogni }x\in [1, +\infty)

    Osserviamo che per x\to +\infty il rapporto al primo membro va a più infinito, dunque non può essere limitato da 1.

    Ne consegue che f(x) non è una funzione sublineare su I e dunque non può essere uniformemente continua su I.

    Con la stessa tecnica si può dimostrare che la funzione esponenziale f(x)=e^{x} non è uniformemente continua in [1, +\infty).

    ***

    Chi vuole ripassare o proseguire con lo studio dell'uniforme continuità può leggere:

    - uniforme continuità

    - condizioni sufficienti per la continuità uniforme

    - esercizi sull'uniforme continuità

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Wiki - Analisi Matematica