Soluzioni
  • Un classico esempio di funzione continua ma non uniformemente continua è dato dalla funzione

    f(x)=\frac{1}{x}\mbox{ nell'intervallo }(0, 1]

    Essa è una funzione continua nell'intervallo dato poiché quoziente di funzioni continue in (0, 1].

    Vediamo perché non è uniformemente continua in (0, 1] usando la negazione della definizione di uniforme continuità.

    Dobbiamo mostrare che esiste un numero reale \varepsilon_0>0 tale che per ogni \delta>0 esistono x,y\in (0,1] per i quali, nonostante valga la condizione

    |x-y|<\delta

    risulti che

    |f(x)-f(y)|\ge \varepsilon_0

    Fissiamo \varepsilon_{0}=1 e consideriamo un generico \delta>0.

    Definiamo x come il più piccolo tra 1\mbox{ e }\delta

    x=\mbox{min}(1,\delta)

    e fissiamo la variabile y come

    y=\frac{x}{2}

    Calcoliamo il valore assoluto della differenza tra x\mbox{ e }y, cioè |x-y| ed assicuriamoci che essa sia minore di \delta:

    |x-y|=\left|x-\frac{x}{2}\right|=\frac{x}{2}\le\frac{\delta}{2}<\delta

    Osserviamo il valore assoluto al terzo passaggio sparisce perché x varia in (0, 1] e in quanto tale è positiva.

    Non ci resta che dimostrare che il valore assoluto della differenza delle immagini, ossia il termine |f(x)-f(y)|, è maggiore o al più uguale ad \varepsilon_0

    \left|f(x)-f(y)\right|=\left|\frac{1}{x}-\frac{2}{x}\right|=\left|-\frac{1}{x}\right|=\frac{1}{x}\ge 1=\varepsilon_0

    Per come abbiamo definito x esso è certamente minore o al più uguale ad 1 ecco perché, passando ai reciproci, si ha che \frac{1}{x}\ge 1.

    Rimarchiamo che abbiamo raggiunto quello che volevamo: abbiamo individuato un \varepsilon_0 per il quale non vale la definizione di uniforme continuità, dunque la funzione f(x)=\frac{1}{x} non è una funzione uniformemente continua in (0, 1] sebbene sia ivi continua.

    Fine! Per tutto ciò che riguarda l'uniforme continuità - click

    Risposta di Ifrit
 
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