Esempio di funzione continua ma non uniformemente continua

Un classico esempio di funzione continua ma non uniformemente continua è dato dalla funzione f(x)=1/x nell'intervallo (0,1], che è una funzione continua in (0,1] poiché quoziente di funzioni continue in (0,1], ma non uniformemente continua in questo intervallo perché non soddisfa la definizione di continuità uniforme.

Cerchiamo di essere più precisi e consideriamo la funzione

Come già scritto, essa è una funzione continua nell'intervallo dato poiché quoziente di funzioni continue in .

Verifichiamo che non è uniformemente continua in usando la negazione della definizione di uniforme continuità.

Dobbiamo mostrare che esiste un numero reale tale che per ogni esistono per i quali, nonostante valga la condizione

risulti che

Fissiamo e consideriamo un generico .

Definiamo come il più piccolo tra

e fissiamo la variabile come

Calcoliamo il valore assoluto della differenza tra , cioè ed assicuriamoci che essa sia minore di :

Osserviamo che il valore assoluto al terzo passaggio sparisce perché varia in e in quanto tale è positiva.

Non ci resta che dimostrare che il valore assoluto della differenza delle immagini, ossia il termine , è maggiore o al più uguale ad

Per come abbiamo definito esso è certamente minore o al più uguale ad ecco perché, passando ai reciproci, si ha che .

Rimarchiamo che abbiamo raggiunto quello che volevamo: abbiamo individuato un per il quale non vale la definizione di uniforme continuità, dunque la funzione non è una funzione uniformemente continua in sebbene sia ivi continua.

Fine! Per tutto ciò che riguarda l'uniforme continuità - click