Soluzioni
  • Una funzione uniformemente continua su un intervallo è una funzione continua il cui grafico non si impenna e non oscilla liberamente o, in termini più formali, è una funzione continua per la quale a piccole variazioni della variabile indipendente x corrispondono piccole variazioni delle immagini y.

    In questa lezione analizzeremo la definizione di uniforme continuità sottolineando la differenza rispetto alla continuità semplice, e ci soffermeremo sull'interpretazione geometrica della continuità uniforme.

    Attenzione: l'uniforme continuità è un argomento che si affronta nei corsi universitari di Analisi Matematica, dunque la lezione è dedicata a studenti universitari. Gli studenti delle scuole superiori possono tranquillamente evitarne la lettura.

    Definizione di funzione uniformemente continua

    Cominciamo dalla definizione di continuità uniforme, che a una prima lettura probabilmente risulterà incomprensibile. ;)

    Sia D\subset\mathbb{R}, un intervallo di numeri reali. Diremo che una funzione f:D\to \mathbb{R} è uniformemente continua su D se, comunque fissiamo un numero reale positivo \varepsilon>0, riusciamo a determinare un \delta=\delta(\varepsilon)>0 tale che per ogni x,y\in D che soddisfano la relazione

    |x-y|<\delta

    risulta che

    |f(x)-f(y)|<\varepsilon

    Utilizzando le opportune notazioni matematiche, possiamo riscrivere la definizione di continuità uniforme nel modo seguente:

    \\ f:D\to\mathbb{R} \ \ \mbox{uniformemente continua su } D\mbox{ se }\forall\varepsilon>0\ \exists \delta>0\mbox{ tale che}\\ \\ \forall x,y\in D \mbox{ per cui } |x-y|<\delta\mbox{ allora risulta che } |f(x)-f(y)|<\varepsilon

    Chi si approccia per la prima volta alla definizione di continuità uniforme potrebbe avere diverse difficoltà nell'interpretarla correttamente.

    Intuitivamente stiamo dicendo che se i punti di D distano meno di \delta\ (|x-y|<\delta), allora le loro immagini disteranno meno di \varepsilon\ (|f(x)-f(y)|<\varepsilon). Il valore di \delta dipende esclusivamente dalla scelta fatta su \varepsilon e da nessun altro parametro.

    In altri termini, stiamo dicendo che una funzione uniformemente continua non può impennarsi troppo o ancora che non può oscillare eccessivamente.

    Differenza tra continuità uniforme e continuità semplice

    I lettori più attenti avranno notato che vi è una certa somiglianza tra la definizione di funzione continua e quella di continuità uniforme, ed in effetti le definizioni sono molto simili, ma concettualmente molto diverse.

    Per evidenziarne le differenze richiamiamo la definizione di funzione continua su un intervallo D: una funzione f:D\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R} è continua su un intervallo D se \forall x\in D vale la proprietà di continuità nel punto, ossia per ogni \varepsilon>0 esiste \delta>0, dipendente da x e da \varepsilon, tale che per ogni y\in A se |x-y|<\delta allora |f(x)-f(y)|<\varepsilon.

    Riportiamo quindi la definizione di funzione continua su un intervallo e la definizione di funzione uniformemente continua su un intervallo in simboli:

     

    \\ f:D\to\mathbb{R} \ \ \mbox{ continua su } D\mbox{ se }\forall x\in D\mbox{ vale: }\forall\varepsilon>0\ \exists \delta>0\mbox{ tale che}\\ \\ \forall y\in D \mbox{ per cui } |x-y|<\delta\mbox{ allora risulta che } |f(x)-f(y)|<\varepsilon\\ \\ \\ f:D\to\mathbb{R} \ \ \mbox{uniformemente continua su } D\mbox{ se }\forall\varepsilon>0\ \exists \delta>0\mbox{ tale che}\\ \\ \forall x,y\in D \mbox{ per cui } |x-y|<\delta\mbox{ allora risulta che } |f(x)-f(y)|<\varepsilon

     

    Nella definizione di continuità partiamo subito con il quantificatore universale \forall x\in D, mentre nella definizione di continuità uniforme lo stesso quantificatore si trova in una posizione differente, più precisamente dopo il quantificatore esistenziale \exists \delta. Ad un occhio inesperto questa può sembrare un'inezia, quando in realtà la differenza tra continuità e continuità uniforme riguarda proprio la posizione dei quantificatori universali.

    Nella definizione di continuità il quantificatore \forall x\in D compare prima del \delta, pertanto \delta dipenderà sia da \varepsilon sia da x, sottolineando come il concetto stesso di continuità sia puntuale. In parole povere prima si considera x e su tale punto si innesca la definizione di funzione continua in un punto; una funzione è continua su un intervallo se è continua in ogni punto dell'intervallo.

    Nella definizione di continuità uniforme il quantificatore \forall x\in D si posiziona subito dopo il \delta e ciò assicura che tale valore non dipenda da x. In altri termini il delta è uniforme rispetto ad x, da cui il nome continuità uniforme. In parole povere l'uniforme continuità non è una proprietà puntuale e la corrispondenza \varepsilon\implies\delta deve individuare un \delta che soddisfi la definizione su tutto l'intervallo, non punto a punto.

    Legame tra continuità uniforme e continuità

    Finora abbiamo evidenziato le differenze che intercorrono tra i due concetti, è bene però sottolineare che esiste un legame tra continuità uniforme e continuità semplice derivante dal seguente teorema.

    Teorema

    Se una funzione f(x) è uniformemente continua su un intervallo D allora è f(x) è continua in D.

    Traccia di dimostrazione: il \delta della continuità uniforme e quello della continuità coincidono.

    Il teorema stabilisce che la continuità uniforme è una condizione sufficiente per la continuità. Attenzione perché in generale non vale il viceversa: esistono funzioni continue che non sono uniformemente continue.

    La questione è spesso argomento di esame orale, proprio per questo riteniamo opportuno fornire a parte un esempio di funzione continua ma non uniformemente continua su un intervallo.

    Osservazione importante

    Il legame tra continuità uniforme e continuità può tornare molto utile al negativo: se una funzione non è continua su un intervallo allora non può essere nemmeno uniformemente continua sull'intervallo.

    Interpretazione geometrica della continuità uniforme

    Se la differenza tra continuità uniforme e continuità non è ancora chiara possiamo provare a ragionare in modo leggermente diverso: analizziamo l'interpretazione geometrica della continuità uniforme e confrontiamola con quella della continuità semplice.

    Consideriamo una funzione f(x) uniformemente continua in D, fissiamo \varepsilon>0 e consideriamo il rettangolo con altezza 2\varepsilon e base 2\delta. Il significato grafico dell'uniforme continuità si traduce nella proprietà per cui, centrando tale rettangolo in un qualsiasi punto del grafico, il grafico della funzione attraversa il rettangolo senza intersecarne le basi.

    In altri termini, con lo stesso rettangolo riusciamo a percorrere l'intero grafico della funzione senza che vi sia intersezione tra le basi del rettangolo e il grafico stesso.

    Continuità uniforme

    Se f(x) è una funzione continua, ma non uniformemente continua, fissato \varepsilon>0 riusciamo sì a costruire un rettangolo di altezza 2\varepsilon, ma la lunghezza della sua base varierà al variare di x. Non riusciamo però a costruire un unico rettangolo con cui percorrere l'intero grafico senza che quest'ultimo tocchi le basi.

    Esempio sulle funzioni uniformemente continue

    Vediamo un esempio: dimostriamo che la funzione

    f(x)=x^3

    è uniformemente continua sull'intervallo A=[0, 1].

    Svolgimento: dobbiamo dimostrare che, comunque si fissi un \varepsilon>0, esiste un \delta>0 dipendente da \varepsilon, tale che comunque si prendano x,y\in [0,1] con |x-y|<\delta, allora |f(x)-f(y)|<\varepsilon.

    Facciamo un po' di lavoro algebrico e partiamo dal valore assoluto della differenza delle immagini:

    |f(x)-f(y)|=|x^3-y^3|=

    Nel modulo compare una differenza di cubi che possiamo scomporre come segue:

    =|(x-y) (x^2+x y+ y^2)|=

    Grazie a una nota proprietà del valore assoluto rispetto al prodotto possiamo scrivere

    =|x-y|\cdot |x^2+ xy + y^2|

    Poiché x,y\in [0, 1] allora x^2+xy+y^2\ge 0, infatti è una somma di quantità non negative, dunque possiamo elidere il valore assoluto del secondo fattore. Nell'intervallo considerato inoltre sussistono le seguenti disuguaglianze

    0\le x^2\le 1 \ \ \ ; \ \ \  0\le x y\le 1 \ \ \ ; \ \ \  0\le y^2\le 1

    e dunque possiamo asserire che x^2+x y+y^2\le 3 per ogni x\in [0,1].

    Grazie a quest'ultima disuguaglianza possiamo effettuare la seguente maggiorazione su |x^3-y^3|

    |x^3-y^3|=|x-y|(x^2+x y+y^2)\le 3|x-y|

    La maggiorazione che abbiamo appena scritto ci permette di dimostrare che la definizione di funzione uniformemente continua è soddisfatta.

    Consideriamo un \varepsilon>0 qualsiasi e consideriamo la disuguaglianza

    3|x-y|<\varepsilon\ \ \ (\bullet)

    Da un lato, in forza della precedente maggiorazione, (•) implica

    |f(x)-f(y)|=|x^3-y^3|<\varepsilon

    Dall'altro (•) si traduce in

    |x-y|<\frac{\varepsilon}{3}

    In conclusione comunque scegliamo \varepsilon>0 esiste \delta=\frac{\varepsilon}{3} tale che, per ogni x,y\in[0,1] per cui risulta |x-y|<\delta ne consegue che |f(x)-f(y)|<\varepsilon.

    Abbiamo così dimostrato che la funzione f(x)=x^3 è uniformemente continua nell'intervallo considerato.

    ***

    Chi vuole ripassare o proseguire con lo studio dell'uniforme continuità può leggere:

    - condizioni sufficienti per la continuità uniforme

    - condizioni necessarie per la continuità uniforme

    - esercizi funzioni uniformemente continue

    Risposta di Ifrit
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