Soluzioni
  • Le equazioni x^2+y^2=1 e x^2-y^2=1 sono due equazioni di secondo grado nelle due incognite x ed y, ed ammettono rispettivamente infinite soluzioni date da:

    \\ x^2+y^2=1 \iff y=\pm \sqrt{1-x^2} \\ \\ x^2-y^2=1 \iff y=\pm \sqrt{x^2-1}

    Tali soluzioni si ottengono esplicitando la variabile y in funzione della variabile x ed estraendo la radice quadrata.

    Per non far confusione vediamo separatamente come si risolvono le equazioni x^2+y^2=1 e x^2-y^2=1.

    Come si risolve l'equazione x^2+y^2=1

    Per trovare le soluzioni dell'equazione x^2+y^2=1 esplicitiamo la variabile y in funzione della variabile x portando x^2 a secondo membro

    y^2=1-x^2

    A questo punto estraiamo la radice quadrata, ottenendo

    y=-\sqrt{1-x^2} \mbox{ oppure } y=\sqrt{1-x^2}

    e in particolare, per far sì che le radici siano ben definite, dobbiamo imporre la condizione

    1-x^2 \ge 0

    che è una disequazione di secondo grado soddisfatta per

    -1 \le x \le 1

    In definitiva le soluzioni dell'equazione x^2+y^2=1 sono tutte e sole le coppie ordinate di punti

    (x,\sqrt{1-x^2}), \ (x,-\sqrt{1-x^2})\ \ \ \mbox{con } -1 \le x \le 1

    Da un punto di vista grafico le soluzioni dell'equazione x^2+y^2=1 sono tutti e soli i punti appartenenti alla curva di equazione x^2+y^2=1, che è una circonferenza di centro l'origine e raggio 1.

     

    x^2+y^2=1

     

    Come si risolve l'equazione x^2-y^2=1

    Per trovare le soluzioni dell'equazione x^2-y^2=1 procediamo in modo analogo ed esplicitiamo la variabile y in funzione della variabile x, per poi estrarre la radice quadrata.

    x^2-y^2=1 \iff y^2=x^2-1 \iff \left\{\begin{matrix}y=-\sqrt{x^2-1}\\ \\ \mbox{oppure} \\ \\ y=\sqrt{x^2-1}\end{matrix}

    Possiamo così concludere che le soluzioni dell'equazione x^2-y^2=1 sono tutte e sole le coppie ordinate di punti aventi coordinate cartesiane della forma

    (x,-\sqrt{x^2-1}), \ (x,\sqrt{x^2-1})\ \ \ \mbox{con }x\leq -1\ \vee\ x\geq 1

    La condizione su x deriva dalle condizioni di realtà di \sqrt{x^2-1}: il radicando deve essere una quantità non negativa, per cui si richiede

    x^2-1 \ge 0

    da cui si ottiene

    x \le -1 \mbox{ oppure } x \ge 1

    Graficamente, le soluzioni dell'equazione x^2-y^2=1 sono tutti i punti del piano che appartengono alla curva di equazione x^2-y^2=1, che è un'iperbole equilatera riferita ai propri assi, ossia un'iperbole avente:

    - come asintoti le bisettrici dei quattro quadranti;

    - come vertici i punti di coordinate (1,0), \ (-1,0).

     

    x^2-y^2=1

     

    È tutto! Se vuoi vedere come si risolvono le disequazioni x^2+y^2>1 e x^2-y^2>1 ti rimandiamo alla nostra lezione sulla rappresentazione delle soluzioni di una disequazione nel piano - click!

    Risposta di Galois
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