Soluzioni
  • x^3=2 è un'equazione di terzo grado che in campo reale ammette un'unica soluzione data dalla radice terza di 2.

    x^3=2 \iff x=\sqrt[3]{2}

    Per ricavare le soluzioni di x^3=2 basta estrarre la radice cubica di 2, che possiamo lasciare scritta così com'è oppure approssimare alla cifra decimale desiderata

    x^3=2 \iff x=\sqrt[3]{2} \simeq 1,2599

    Questa è l'unica soluzione dell'equazione x^3=2 nell'insieme R dei numeri reali.

    Risolvere x^3=2 in campo complesso

    Vediamo ora come si risolve questa equazione in campo complesso. Se non hai ancora studiato i numeri complessi puoi fermarti qui con la lettura. ;)

    Essendo x^3=2 un'equazione di terzo grado, per un corollario del teorema fondamentale dell'Algebra essa ammette in \mathbb{C} esattamente 3 soluzioni, contate con la loro molteplicità.

    Poiché

    z^3=2

    le soluzioni dell'equazione z^3=2 coincidono con le radici terze del numero z=2.

    Per trovare tali radici procediamo come spiegato nella lezione sulle radici di un numero complesso.

    Troviamo anzitutto modulo e argomento del numero

    z=2

    che si presenta in forma algebrica

    z=a+ib

    con a=2 \mbox{ e } b=0.

    Calcoliamo modulo e argomento di z=2

    \\ r=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{2^2+0^2}=\sqrt{4}=2\\ \\ \theta=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)=\arctan\left(\frac{0}{2}\right)=\arctan(0)=0

    Le radici terze di 2 sono allora date da

    z_k=\sqrt[3]{r}\left( \cos\left( \frac{\theta+2k\pi}{3} \right) +i\sin\left(\frac{\theta+2k\pi}{3} \right) \right)

    con k \in \{0, \ 1, \ 2\}

    Sostituendo r=2 e \theta=0 si ottiene

    z_k=\sqrt[3]{2}\left( \cos\left( \frac{2k\pi}{3} \right) +i\sin\left(\frac{2k\pi}{3} \right) \right)

    Al variare di k \in \{0, \ 1, \ 2\} otteniamo le tre radici cubiche di 2 e quindi le tre soluzioni dell'equazione x^3=2.

    Per k=0

    z_0=\sqrt[3]{2}\left( \cos\left( \frac{0}{3} \right) +i\sin\left(\frac{0}{3} \right) \right)=\sqrt[3]{2}\left(\cos(0)+i\sin(0)\right)=\sqrt[3]{2}

    Per k=1

    z_1=\sqrt[3]{2}\left( \cos\left( \frac{2\pi}{3} \right) +i\sin\left(\frac{2\pi}{3} \right) \right)=\sqrt[3]{2}\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)

    Per k=2

    z_2=\sqrt[3]{2}\left( \cos\left( \frac{4\pi}{3} \right) +i\sin\left(\frac{4\pi}{3} \right) \right)=\sqrt[3]{2}\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)

    Abbiamo finito! Le soluzioni in campo complesso di x^3=2 sono

    \\ z_0=\sqrt[3]{2} \\ \\ z_1=\sqrt[3]{2}\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right) \\ \\ \\ z_2=\sqrt[3]{2}\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)

    E con questo è tutto. :)

    Risposta di Galois
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