Soluzioni
  • I multipli di 12 sono tutti e soli i numeri interi divisibili per 12. In altri termini un multiplo di 12 è un numero intero (negativo, positivo o nullo) tale che il resto della divisione tra il numero considerato e 12 è uguale a zero.

    Ad esempio 0 e 48 sono multipli di 12, infatti:

    \\ 0:12=0 \ \mbox{ resto } 0 \\ \\ 48:12 = 4 \ \mbox{ resto } 0

    Al contrario 64 non è un multiplo di 12, in quanto:

    64:12 = 5 \ \mbox{ resto } 4

    Riguardo al calcolo dei multipli di 12, essi si ottengono moltiplicando 12 per ognuno dei numeri interi relativi, che sono lo zero e i numeri interi preceduti dal segno meno o dal segno più. Di conseguenza i multipli di 12 sono infiniti ed è impossibile scriverne un elenco completo, tuttavia possiamo calcolarne qualcuno.

    • I primi undici multipli non negativi di 12 sono forniti dalla tabellina del 12 e si calcolano moltiplicando 12 per i numeri naturali compresi tra 0 e 10:

    0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120

    • I primi dieci multipli negativi di 12 sono

    -12, -24, -36, -48, -60, -72, -84, -96, -108, -120

    e si calcolano moltiplicando 12 per i numeri interi negativi compresi tra -1 e -10.

    Come stabilire se un numero è un multiplo di 12

    Un numero è un multiplo di 12 se e solo se è divisibile per 12, dunque per stabilire se un numero è un multiplo di 12 possiamo:

    - calcolare il quoziente e il resto della divisione tra il numero e 12;

    - usare la scomposizione in fattori primi;

    - servirci dei criteri di divisibilità.

    Se il numero da controllare fosse negativo ci basterebbe considerare il suo opposto.

    Controllo dei multipli di 12 con la divisione

    Partiamo dal metodo più usato, che prevede di svolgere la divisione tra il numero in questione e 12 e di controllare il resto:

    - se è zero, allora il numero è un multiplo di 12;

    - se è diverso da zero, allora il numero non è un multiplo di 12.

    A titolo di esempio vediamo quali tra 52, 60, 132, 186 e 242 sono multipli di 12.

    Calcoliamo i quozienti e i resti delle rispettive divisioni per 12:

    \\ 52:12 = 4 \ \mbox{ resto } 4 \\ \\ 60:12 = 5 \ \mbox{ resto } 0 \\ \\ 132:12 = 11 \ \mbox{ resto } 0 \\ \\ 186:12 = 15 \ \mbox{ resto } 6 \\ \\ 242:12 = 20 \ \mbox{ resto } 2

    I multipli di 12 tra i numeri considerati sono 60 e 132, perché i resti delle loro divisioni per 12 sono nulli.

    Se è consentito l'uso della calcolatrice, la verifica è ancora più semplice:

    - se il risultato della divisione è un numero intero, il dividendo è un multiplo di 12;

    - se il risultato della divisione è un numero decimale, il dividendo non è un multiplo di 12.

    Controllo dei multipli di 12 con la scomposizione in fattori primi

    Il secondo metodo che proponiamo si basa sulla scomposizione in fattori primi del numero da controllare.

    Poiché

    12= 4 \times 3 = 2^2 \times 3

    ne segue che un numero è un multiplo di 12 se e solo se tra i fattori della sua scomposizione in primi compaiono allo stesso tempo:

    - il 2 con esponente maggiore o uguale a 2;

    - il 3 con esponente maggiore o uguale a 1.

    Facciamo qualche esempio:

    • 72, 240 e 252 sono multipli di 12, in quanto nelle rispettive scomposizioni in primi sono presenti sia il 2 con esponente maggiore-uguale a 2, sia il 3:

    \\ 72 = 2^3 \times 3^2 \\ \\ 240=2^4 \times 3 \times 5 \\ \\ 252 = 2^2 \times 3^2 \times 7

    • 90, 294 e 390 non sono multipli di 12, infatti:

    \\ 90 = 2 \times 3^2 \times 5 \\ \\ 294=2 \times 3 \times 7^2 \\ \\ 390 = 2 \times 3 \times 5 \times 13

    Controllo dei multipli di 12 con i criteri di divisibilità

    Passiamo al terzo metodo. Poiché 12 è il prodotto tra 4 e 3 si capisce subito che un numero è divisibile per 12, e quindi è un multiplo di 12, se e solo se è divisibile sia per 4 che per 3.

    Dai criteri di divisibilità sappiamo che:

    - un numero è divisibile per 4 se la cifra delle decine è un numero dispari e la cifra delle unità è 2 o 6, oppure se la cifra delle decine è un numero pari e la cifra delle unità è 0, 4 o 8;

    - un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è un multiplo di 3.

    Possiamo allora affermare che i multipli di 12 sono tutti e soli i multipli di 3 tali da soddisfare il criterio di divisibilità per 4.

    Per fissare le idee facciamo qualche esempio:

    • 1236 è un multiplo di 12 in quanto la somma delle sue cifre è un multiplo di 3 (1+2+3+6=12) ed è divisibile per 4; osserviamo infatti che la sua cifra delle decine è un numero dispari (3) e che la cifra delle unità è uguale a 6.

    • 4058 non è un multiplo di 12, infatti la somma delle sue cifre non è un multiplo di 3 (4+0+5+8=17).

    • 5286 non è un multiplo di 12 perché, anche se la somma delle sue cifre è un multiplo di 3 (5+2+8+6=21), non è un numero divisibile per 4. Basta infatti osservare che la cifra delle decine è un numero pari e che la cifra delle unità non è né 0, né 4, né 8.

    ***

    Per chiudere ti consigliamo di leggere la lezione su multipli, sottomultipli e divisori - click!

    Risposta di Galois
 
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