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  • L'insieme R rappresenta l'insieme dei numeri reali, il quale è dato dall'unione tra l'insieme Q dei numeri razionali relativi e l'insieme I dei numeri irrazionali.

    \mathbb{R}=\mathbb{Q} \cup \mathbb{I}

    Come risulta evidente dalla formula precedente, l'insieme R dei numeri reali si indica con la lettera \mathbb{R}, cioè raddoppiando la barra verticale della lettera R. In questo modo si ha la certezza di non confonderlo con nessun altro insieme.

    Elementi dell'insieme R

    Gli elementi dell'insieme R sono tutti i numeri positivi e negativi (zero incluso) che ci vengono in mente e con cui abbiamo a che fare nella vita di tutti i giorni.

    Infatti, l'insieme N dei numeri naturali è un sottoinsieme dell'insieme Z dei numeri interi relativi, che a sua volta è un sottoinsieme dell'insieme Q, il quale è un sottoinsieme di R

    \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

    Inoltre anche l'insieme \mathbb{I} dei numeri irrazionali è un sottoinsieme dell'insieme R.

    Pertanto, qualsiasi numero intero (positivo, negativo, nullo), qualsiasi numero razionale e qualsiasi numero irrazionale (sia algebrico che trascendente) è un numero reale e quindi un elemento dell'insieme R.

    Ad esempio

    -123, \ \ \frac{8}{9}, \ \ -\frac{3}{2}, \ \ 0, \ \ \pi, \ \ \sqrt{2}, \ \ \sqrt[5]{3}

    sono tutti elementi dell'insieme R.

    Ecco una rappresentazione coi diagrammi di Eulero Venn che aiuta a capire com'è fatto l'insieme R dei numeri reali.

     

    Insieme R

     

    Gli unici numeri che non appartengono all'insieme R dei numeri reali sono le radici con indice pari dei numeri negativi.

    Proprietà dell'insieme R

    L'insieme R gode di svariate proprietà che abbiamo elencato qui di seguito.

    1) Gli elementi dell'insieme R possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta, detta retta reale.

    2) Dalla proprietà 1) segue che l'insieme R è un insieme ordinato, ossia dati due qualsiasi elementi dell'insieme R è sempre possibile stabilire se il primo elemento è maggiore, minore o uguale al secondo.

    3) L'insieme R è un insieme infinito, cioè un insieme con infiniti elementi.

    4) Addizione, sottrazione, moltiplicazione sono operazioni interne all'insieme R; detto in altre parole, la somma algebrica e il prodotto tra due qualsiasi numeri reali è ancora un numero reale. La divisione sarebbe un'operazione interna solamente escludendo lo zero, infatti la divisione per zero non è un'operazione definita.

    5) L'estrazione di radice non è un'operazione interna all'insieme R. Infatti, se si considera un numero reale negativo, la sua radice quadrata non esiste. Questa proprietà ha portato all'introduzione dell'insieme \mathbb{C} dei numeri complessi, di cui l'insieme R è un sottoinsieme.

    \mathbb{R} \subset \mathbb{C}

    6) Lo zero è l'elemento neutro rispetto alla somma, mentre 1 è l'elemento neutro rispetto al prodotto, ossia sommando 0 o moltiplicando 1 a qualsiasi numero reale si ottiene il numero stesso.

    7) Somma e prodotto tra numeri reali godono della proprietà commutativa e della proprietà associativa. Inoltre vale la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma. In formule, per ogni a, \ b, \ c \in  \mathbb{R}:

    \\ a+b=b+a \to \mbox{ Propriet}\grave{\mbox{a}} \mbox{ commutativa}\\ \\ (a+b)+c=a+(b+c) \to \mbox{ Propriet}\grave{\mbox{a}} \mbox{ associativa} \\ \\ a \cdot (b+c)=a \cdot b + a \cdot c \to \mbox{ Propriet}\grave{\mbox{a}} \mbox{ distributiva}

    Finisce qui la parte dedicata ai ragazzi delle scuole superiori.

    Proprietà dell'insieme R (solo per universitari)

    Le proprietà elencate qui di seguito sono rivolte ai soli studenti universitari.

    8) L'insieme R con l'operazione di somma tra numeri reali (\mathbb{R,+}) è un gruppo abeliano, infatti:

    - la somma gode della proprietà commutativa e della proprietà associativa;

    - esiste l'elemento neutro rispetto alla somma, ed è lo 0;

    - ogni elemento ha inverso additivo, ossia per ogni a \in \mathbb{R} esiste -a \in \mathbb{R} tale che

    a+(-a)=(-a)+a=0

    9) Indicando · con il prodotto tra numeri reali, (\mathbb{R}-\{0\}, \cdot) è un gruppo abeliano in quanto:

    - il prodotto gode della proprietà commutativa e della proprietà associativa;

    - esiste l'elemento neutro rispetto al prodotto ed è l'1;

    - ogni elemento diverso da zero ha inverso moltiplicativo, ossia per ogni a \in \mathbb{R}, \ a \neq 0 esiste a^{-1} \in \mathbb{R} tale che

    a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a=1

    10) L'insieme R con le operazioni di somma e prodotto (\mathbb{R},+,\cdot) è un campo, detto campo dei numeri reali. Tale proprietà discende dal fatto che:

    - (\mathbb{R},+) è un gruppo abeliano;

    - (\mathbb{R}-\{0\},\cdot) è un gruppo abeliano;

    - vale la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma.

    11) L'insieme R non è un insieme numerabile, cioè non esiste alcuna corrispondenza biunivoca tra l'insieme R e l'insieme N dei numeri naturali. In particolare R è un insieme con potenza del continuo.

    12) L'insieme Q dei numeri razionali e l'insieme I dei numeri irrazionali sono insiemi densi nell'insieme R.

    13) Per ogni x, \ y \in \mathbb{R}, definiamo la distanza d tra x ed y come il valore assoluto della loro differenza

    d=|x-y|

    la quale si dice distanza euclidea.

    L'insieme R dotato della distanza euclidea è uno spazio metrico completo.

    14) L'insieme R con le usuali operazioni di somma e prodotto è uno spazio vettoriale di dimensione 1.

    ***

    Abbiamo finito. Per tutti gli approfondimenti del caso, oltre alle lezioni che abbiamo linkato nel corso della spiegazione, vi rimandiamo alla lezione dedicata ai numeri reali. ;)

    Risposta di Galois
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