Insieme R
Gli unici numeri che non appartengono all'insieme R dei numeri reali sono le radici con indice pari dei numeri negativi.
Proprietà dell'insieme R
L'insieme R gode di svariate proprietà che abbiamo elencato qui di seguito.
1) Gli elementi dell'insieme R possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta, detta retta reale.
2) Dalla proprietà 1) segue che l'insieme R è un insieme ordinato, ossia dati due qualsiasi elementi dell'insieme R è sempre possibile stabilire se il primo elemento è maggiore, minore o uguale al secondo.
3) L'insieme R è un insieme infinito, cioè un insieme con infiniti elementi.
4) Addizione, sottrazione, moltiplicazione sono operazioni interne all'insieme R; detto in altre parole, la somma algebrica e il prodotto tra due qualsiasi numeri reali è ancora un numero reale. La divisione sarebbe un'operazione interna solamente escludendo lo zero, infatti la divisione per zero non è un'operazione definita.
5) L'estrazione di radice non è un'operazione interna all'insieme R. Infatti, se si considera un numero reale negativo, la sua radice quadrata non esiste. Questa proprietà ha portato all'introduzione dell'insieme dei numeri complessi, di cui l'insieme R è un sottoinsieme.
6) Lo zero è l'elemento neutro rispetto alla somma, mentre 1 è l'elemento neutro rispetto al prodotto, ossia sommando 0 o moltiplicando 1 a qualsiasi numero reale si ottiene il numero stesso.
7) Somma e prodotto tra numeri reali godono della proprietà commutativa e della proprietà associativa. Inoltre vale la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma. In formule, per ogni :
Finisce qui la parte dedicata ai ragazzi delle scuole superiori.
Proprietà dell'insieme R (solo per universitari)
Le proprietà elencate qui di seguito sono rivolte ai soli studenti universitari.
8) L'insieme R con l'operazione di somma tra numeri reali è un gruppo abeliano, infatti:
- la somma gode della proprietà commutativa e della proprietà associativa;
- esiste l'elemento neutro rispetto alla somma, ed è lo 0;
- ogni elemento ha inverso additivo, ossia per ogni esiste
tale che
9) Indicando · con il prodotto tra numeri reali, è un gruppo abeliano in quanto:
- il prodotto gode della proprietà commutativa e della proprietà associativa;
- esiste l'elemento neutro rispetto al prodotto ed è l'1;
- ogni elemento diverso da zero ha inverso moltiplicativo, ossia per ogni esiste
tale che
10) L'insieme R con le operazioni di somma e prodotto è un campo, detto campo dei numeri reali. Tale proprietà discende dal fatto che:
- è un gruppo abeliano;
- è un gruppo abeliano;
- vale la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma.
11) L'insieme R non è un insieme numerabile, cioè non esiste alcuna corrispondenza biunivoca tra l'insieme R e l'insieme N dei numeri naturali. In particolare R è un insieme con potenza del continuo.
12) L'insieme Q dei numeri razionali e l'insieme I dei numeri irrazionali sono insiemi densi nell'insieme R.
13) Per ogni , definiamo la distanza
tra
ed
come il valore assoluto della loro differenza
la quale si dice distanza euclidea.
L'insieme R dotato della distanza euclidea è uno spazio metrico completo.
14) L'insieme R con le usuali operazioni di somma e prodotto è uno spazio vettoriale di dimensione 1.
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Abbiamo finito. Per tutti gli approfondimenti del caso, oltre alle lezioni che abbiamo linkato nel corso della spiegazione, vi rimandiamo alla lezione dedicata ai numeri reali. ;)
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