Soluzioni
  • L'insieme R rappresenta l'insieme dei numeri reali, il quale è dato dall'unione tra l'insieme Q dei numeri razionali relativi e l'insieme I dei numeri irrazionali.

    R = Q U I

    Come risulta evidente dalla formula precedente, l'insieme R dei numeri reali si indica con la lettera R, cioè raddoppiando la barra verticale della lettera R. In questo modo si ha la certezza di non confonderlo con nessun altro insieme.

    Elementi dell'insieme R

    Gli elementi dell'insieme R sono tutti i numeri positivi e negativi (zero incluso) che ci vengono in mente e con cui abbiamo a che fare nella vita di tutti i giorni.

    Infatti, l'insieme N dei numeri naturali è un sottoinsieme dell'insieme Z dei numeri interi relativi, che a sua volta è un sottoinsieme dell'insieme Q, il quale è un sottoinsieme di R

    N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

    Inoltre anche l'insieme I dei numeri irrazionali è un sottoinsieme dell'insieme R.

    Pertanto, qualsiasi numero intero (positivo, negativo, nullo), qualsiasi numero razionale e qualsiasi numero irrazionale (sia algebrico che trascendente) è un numero reale e quindi un elemento dell'insieme R.

    Ad esempio

    -123, (8)/(9), -(3)/(2), 0, π, √(2), [5]√(3)

    sono tutti elementi dell'insieme R.

    Ecco una rappresentazione coi diagrammi di Eulero Venn che aiuta a capire com'è fatto l'insieme R dei numeri reali.

     

    Insieme R

    Insieme R

     

    Gli unici numeri che non appartengono all'insieme R dei numeri reali sono le radici con indice pari dei numeri negativi.

    Proprietà dell'insieme R

    L'insieme R gode di svariate proprietà che abbiamo elencato qui di seguito.

    1) Gli elementi dell'insieme R possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta, detta retta reale.

    2) Dalla proprietà 1) segue che l'insieme R è un insieme ordinato, ossia dati due qualsiasi elementi dell'insieme R è sempre possibile stabilire se il primo elemento è maggiore, minore o uguale al secondo.

    3) L'insieme R è un insieme infinito, cioè un insieme con infiniti elementi.

    4) Addizione, sottrazione, moltiplicazione sono operazioni interne all'insieme R; detto in altre parole, la somma algebrica e il prodotto tra due qualsiasi numeri reali è ancora un numero reale. La divisione sarebbe un'operazione interna solamente escludendo lo zero, infatti la divisione per zero non è un'operazione definita.

    5) L'estrazione di radice non è un'operazione interna all'insieme R. Infatti, se si considera un numero reale negativo, la sua radice quadrata non esiste. Questa proprietà ha portato all'introduzione dell'insieme C dei numeri complessi, di cui l'insieme R è un sottoinsieme.

    R ⊂ C

    6) Lo zero è l'elemento neutro rispetto alla somma, mentre 1 è l'elemento neutro rispetto al prodotto, ossia sommando 0 o moltiplicando 1 a qualsiasi numero reale si ottiene il numero stesso.

    7) Somma e prodotto tra numeri reali godono della proprietà commutativa e della proprietà associativa. Inoltre vale la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma. In formule, per ogni a, b, c ∈ R:

     a+b = b+a → Proprieta' commutativa ; (a+b)+c = a+(b+c) → Proprieta' associativa ; a·(b+c) = a·b+a·c → Proprieta' distributiva

    Finisce qui la parte dedicata ai ragazzi delle scuole superiori.

    Proprietà dell'insieme R (solo per universitari)

    Le proprietà elencate qui di seguito sono rivolte ai soli studenti universitari.

    8) L'insieme R con l'operazione di somma tra numeri reali (R,+) è un gruppo abeliano, infatti:

    - la somma gode della proprietà commutativa e della proprietà associativa;

    - esiste l'elemento neutro rispetto alla somma, ed è lo 0;

    - ogni elemento ha inverso additivo, ossia per ogni a ∈ R esiste -a ∈ R tale che

    a+(-a) = (-a)+a = 0

    9) Indicando · con il prodotto tra numeri reali, (R-0,·) è un gruppo abeliano in quanto:

    - il prodotto gode della proprietà commutativa e della proprietà associativa;

    - esiste l'elemento neutro rispetto al prodotto ed è l'1;

    - ogni elemento diverso da zero ha inverso moltiplicativo, ossia per ogni a ∈ R, a ≠ 0 esiste a^(-1) ∈ R tale che

    a·a^(-1) = a^(-1)·a = 1

    10) L'insieme R con le operazioni di somma e prodotto (R,+,·) è un campo, detto campo dei numeri reali. Tale proprietà discende dal fatto che:

    - (R,+) è un gruppo abeliano;

    - (R-0,·) è un gruppo abeliano;

    - vale la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma.

    11) L'insieme R non è un insieme numerabile, cioè non esiste alcuna corrispondenza biunivoca tra l'insieme R e l'insieme N dei numeri naturali. In particolare R è un insieme con potenza del continuo.

    12) L'insieme Q dei numeri razionali e l'insieme I dei numeri irrazionali sono insiemi densi nell'insieme R.

    13) Per ogni x, y ∈ R, definiamo la distanza d tra x ed y come il valore assoluto della loro differenza

    d = |x-y|

    la quale si dice distanza euclidea.

    L'insieme R dotato della distanza euclidea è uno spazio metrico completo.

    14) L'insieme R con le usuali operazioni di somma e prodotto è uno spazio vettoriale di dimensione 1.

    ***

    Abbiamo finito. Per tutti gli approfondimenti del caso, oltre alle lezioni che abbiamo linkato nel corso della spiegazione, vi rimandiamo alla lezione dedicata ai numeri reali. ;)

    Risposta di Galois
 
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