Insieme R

L'insieme R rappresenta l'insieme dei numeri reali, il quale è dato dall'unione tra l'insieme Q dei numeri razionali relativi e l'insieme I dei numeri irrazionali.

Come risulta evidente dalla formula precedente, l'insieme R dei numeri reali si indica con la lettera , cioè raddoppiando la barra verticale della lettera R. In questo modo si ha la certezza di non confonderlo con nessun altro insieme.

Elementi dell'insieme R

Gli elementi dell'insieme R sono tutti i numeri positivi e negativi (zero incluso) che ci vengono in mente e con cui abbiamo a che fare nella vita di tutti i giorni.

Infatti, l'insieme N dei numeri naturali è un sottoinsieme dell'insieme Z dei numeri interi relativi, che a sua volta è un sottoinsieme dell'insieme Q, il quale è un sottoinsieme di R

Inoltre anche l'insieme dei numeri irrazionali è un sottoinsieme dell'insieme R.

Pertanto, qualsiasi numero intero (positivo, negativo, nullo), qualsiasi numero razionale e qualsiasi numero irrazionale (sia algebrico che trascendente) è un numero reale e quindi un elemento dell'insieme R.

Ad esempio

sono tutti elementi dell'insieme R.

Ecco una rappresentazione coi diagrammi di Eulero Venn che aiuta a capire com'è fatto l'insieme R dei numeri reali.

Gli unici numeri che non appartengono all'insieme R dei numeri reali sono le radici con indice pari dei numeri negativi.

Proprietà dell'insieme R

L'insieme R gode di svariate proprietà che abbiamo elencato qui di seguito.

1) Gli elementi dell'insieme R possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta, detta retta reale.

2) Dalla proprietà 1) segue che l'insieme R è un insieme ordinato, ossia dati due qualsiasi elementi dell'insieme R è sempre possibile stabilire se il primo elemento è maggiore, minore o uguale al secondo.

3) L'insieme R è un insieme infinito, cioè un insieme con infiniti elementi.

4) Addizione, sottrazione, moltiplicazione sono operazioni interne all'insieme R; detto in altre parole, la somma algebrica e il prodotto tra due qualsiasi numeri reali è ancora un numero reale. La divisione sarebbe un'operazione interna solamente escludendo lo zero, infatti la divisione per zero non è un'operazione definita.

5) L'estrazione di radice non è un'operazione interna all'insieme R. Infatti, se si considera un numero reale negativo, la sua radice quadrata non esiste. Questa proprietà ha portato all'introduzione dell'insieme dei numeri complessi, di cui l'insieme R è un sottoinsieme.

6) Lo zero è l'elemento neutro rispetto alla somma, mentre 1 è l'elemento neutro rispetto al prodotto, ossia sommando 0 o moltiplicando 1 a qualsiasi numero reale si ottiene il numero stesso.

7) Somma e prodotto tra numeri reali godono della proprietà commutativa e della proprietà associativa. Inoltre vale la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma. In formule, per ogni :

Finisce qui la parte dedicata ai ragazzi delle scuole superiori.

Proprietà dell'insieme R (solo per universitari)

Le proprietà elencate qui di seguito sono rivolte ai soli studenti universitari.

8) L'insieme R con l'operazione di somma tra numeri reali è un gruppo abeliano, infatti:

- la somma gode della proprietà commutativa e della proprietà associativa;

- esiste l'elemento neutro rispetto alla somma, ed è lo 0;

- ogni elemento ha inverso additivo, ossia per ogni esiste tale che

9) Indicando · con il prodotto tra numeri reali, è un gruppo abeliano in quanto:

- il prodotto gode della proprietà commutativa e della proprietà associativa;

- esiste l'elemento neutro rispetto al prodotto ed è l'1;

- ogni elemento diverso da zero ha inverso moltiplicativo, ossia per ogni esiste tale che

10) L'insieme R con le operazioni di somma e prodotto è un campo, detto campo dei numeri reali. Tale proprietà discende dal fatto che:

- è un gruppo abeliano;

- è un gruppo abeliano;

- vale la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma.

11) L'insieme R non è un insieme numerabile, cioè non esiste alcuna corrispondenza biunivoca tra l'insieme R e l'insieme N dei numeri naturali. In particolare R è un insieme con potenza del continuo.

12) L'insieme Q dei numeri razionali e l'insieme I dei numeri irrazionali sono insiemi densi nell'insieme R.

13) Per ogni , definiamo la distanza tra ed come il valore assoluto della loro differenza

la quale si dice distanza euclidea.

L'insieme R dotato della distanza euclidea è uno spazio metrico completo.

14) L'insieme R con le usuali operazioni di somma e prodotto è uno spazio vettoriale di dimensione 1.

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Abbiamo finito. Per tutti gli approfondimenti del caso, oltre alle lezioni che abbiamo linkato nel corso della spiegazione, vi rimandiamo alla lezione dedicata ai numeri reali. ;)