L'insieme R rappresenta l'insieme dei numeri reali, il quale è dato dall'unione tra l'insieme Q dei numeri razionali relativi e l'insieme I dei numeri irrazionali.
Come risulta evidente dalla formula precedente, l'insieme R dei numeri reali si indica con la lettera
, cioè raddoppiando la barra verticale della lettera R. In questo modo si ha la certezza di non confonderlo con nessun altro insieme.
Elementi dell'insieme R
Gli elementi dell'insieme R sono tutti i numeri positivi e negativi (zero incluso) che ci vengono in mente e con cui abbiamo a che fare nella vita di tutti i giorni.
Infatti, l'insieme N dei numeri naturali è un sottoinsieme dell'insieme Z dei numeri interi relativi, che a sua volta è un sottoinsieme dell'insieme Q, il quale è un sottoinsieme di R
Inoltre anche l'insieme
dei numeri irrazionali è un sottoinsieme dell'insieme R.
Pertanto, qualsiasi numero intero (positivo, negativo, nullo), qualsiasi numero razionale e qualsiasi numero irrazionale (sia algebrico che trascendente) è un numero reale e quindi un elemento dell'insieme R.
Ad esempio
sono tutti elementi dell'insieme R.
Ecco una rappresentazione coi diagrammi di Eulero Venn che aiuta a capire com'è fatto l'insieme R dei numeri reali.
Insieme R
Gli unici numeri che non appartengono all'insieme R dei numeri reali sono le radici con indice pari dei numeri negativi.
Proprietà dell'insieme R
L'insieme R gode di svariate proprietà che abbiamo elencato qui di seguito.
1) Gli elementi dell'insieme R possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta, detta retta reale.
2) Dalla proprietà 1) segue che l'insieme R è un insieme ordinato, ossia dati due qualsiasi elementi dell'insieme R è sempre possibile stabilire se il primo elemento è maggiore, minore o uguale al secondo.
3) L'insieme R è un insieme infinito, cioè un insieme con infiniti elementi.
4) Addizione, sottrazione, moltiplicazione sono operazioni interne all'insieme R; detto in altre parole, la somma algebrica e il prodotto tra due qualsiasi numeri reali è ancora un numero reale. La divisione sarebbe un'operazione interna solamente escludendo lo zero, infatti la divisione per zero non è un'operazione definita.
5) L'estrazione di radice non è un'operazione interna all'insieme R. Infatti, se si considera un numero reale negativo, la sua radice quadrata non esiste. Questa proprietà ha portato all'introduzione dell'insieme
dei numeri complessi, di cui l'insieme R è un sottoinsieme.
6) Lo zero è l'elemento neutro rispetto alla somma, mentre 1 è l'elemento neutro rispetto al prodotto, ossia sommando 0 o moltiplicando 1 a qualsiasi numero reale si ottiene il numero stesso.
7) Somma e prodotto tra numeri reali godono della proprietà commutativa e della proprietà associativa. Inoltre vale la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma. In formule, per ogni
:
Finisce qui la parte dedicata ai ragazzi delle scuole superiori.
Proprietà dell'insieme R (solo per universitari)
Le proprietà elencate qui di seguito sono rivolte ai soli studenti universitari.
8) L'insieme R con l'operazione di somma tra numeri reali
è un gruppo abeliano, infatti:
- la somma gode della proprietà commutativa e della proprietà associativa;
- esiste l'elemento neutro rispetto alla somma, ed è lo 0;
- ogni elemento ha inverso additivo, ossia per ogni
esiste
tale che
9) Indicando · con il prodotto tra numeri reali,
è un gruppo abeliano in quanto:
- il prodotto gode della proprietà commutativa e della proprietà associativa;
- esiste l'elemento neutro rispetto al prodotto ed è l'1;
- ogni elemento diverso da zero ha inverso moltiplicativo, ossia per ogni
esiste
tale che
10) L'insieme R con le operazioni di somma e prodotto
è un campo, detto campo dei numeri reali. Tale proprietà discende dal fatto che:
-
è un gruppo abeliano;
-
è un gruppo abeliano;
- vale la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma.
11) L'insieme R non è un insieme numerabile, cioè non esiste alcuna corrispondenza biunivoca tra l'insieme R e l'insieme N dei numeri naturali. In particolare R è un insieme con potenza del continuo.
12) L'insieme Q dei numeri razionali e l'insieme I dei numeri irrazionali sono insiemi densi nell'insieme R.
13) Per ogni
, definiamo la distanza
tra
ed
come il valore assoluto della loro differenza
la quale si dice distanza euclidea.
L'insieme R dotato della distanza euclidea è uno spazio metrico completo.
14) L'insieme R con le usuali operazioni di somma e prodotto è uno spazio vettoriale di dimensione 1.
***
Abbiamo finito. Per tutti gli approfondimenti del caso, oltre alle lezioni che abbiamo linkato nel corso della spiegazione, vi rimandiamo alla lezione dedicata ai numeri reali. ;)
MEDIE | Geometria | Algebra e Aritmetica | |||
SUPERIORI | Algebra | Geometria | Analisi | Altro | |
UNIVERSITÀ | Analisi | Algebra Lineare | Algebra | Altro | |
EXTRA | Pillole | Wiki |