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  • L'insieme N si indica con il simbolo ℕ ed è l'insieme numerico dei numeri naturali, come ad esempio 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ossia l'insieme di tutti i numeri interi non negativi che si ottengono partendo da zero e aggiungendo di volta in volta un'unità.

    Elementi dell'insieme N

    L'insieme N è formato dai numeri che impariamo a usare fin da piccoli per contare:

    \mathbb{N}=\{0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8, \ ...\}

    Da un punto di vista formale l'insieme N dei numeri naturali si indica con la lettera \mathbb{N}, ossia raddoppiando la barra trasversale della lettera N. In questo modo si ha la certezza di non confonderlo con nessun altro insieme.

    Zero come elemento incluso o escluso nell'insieme N

    Alcuni libri di testo non considerano lo zero un elemento dell'insieme N, ossia definiscono i numeri naturali a partire dal numero 1.

    \mathbb{N}=\{1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8, \ ...\}

    La scelta è del tutto libera ed entrambe le definizioni sono corrette e accettate. Da parte nostra preferiamo la definizione che include lo zero, quindi con insieme N ci riferiamo all'insieme dei numeri naturali, zero incluso.

    Vale la pena di precisare che:

    - se si considera lo zero come elemento dell'insieme N, allora si denota l'insieme dei numeri naturali con lo zero escluso con \mathbb{N}^*

    \mathbb{N}=\{0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8, \ ...\} \\ \\ \Rightarrow \ \mathbb{N}^*=\{1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8, \ ...\}

    - se non si considera lo zero come elemento dell'insieme N, allora si denota l'insieme dei numeri naturali con lo zero incluso con \mathbb{N}_0

    \mathbb{N}=\{1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8, \ ...\} \\ \\ \Rightarrow \ \mathbb{N}_0=\{0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8, \ ...\}

    Proprietà dell'insieme N

    Passiamo ad elencare le proprietà di cui gode l'insieme N.

    1) L'insieme N è un insieme infinito, infatti i numeri naturali sono infiniti.

    2) L'insieme N è un sottoinsieme proprio dell'insieme Z, che a sua volta è un sottoinsieme dell'insieme Q, che a sua volta è un sottoinsieme dell'insieme R. In simboli:

    \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

    3) L'insieme N è un insieme ordinato: dato un numero naturale, è sempre possibile stabilire se è maggiore, minore o uguale rispetto a un altro numero naturale.

    4) Addizione e moltiplicazione sono operazioni interne all'insieme N; in altri termini la somma e il prodotto tra due numeri naturali sono ancora numeri naturali.

    5) Sottrazione e divisione non sono operazioni interne all'insieme N, ossia la differenza e il rapporto tra due numeri naturali non sono necessariamente numeri naturali. Come esempi possiamo considerare

    8-10=-2

    che è un numero intero relativo preceduto dal segno meno;

    5:10=0,5

    che è un numero decimale.

    6) Lo zero è l'elemento neutro rispetto alla somma: sommando 0 a qualsiasi elemento dell'insieme N si ottiene il numero stesso.

    7) L'1 è l'elemento neutro rispetto al prodotto: moltiplicando qualsiasi elemento dell'insieme N per 1 si ottiene il numero stesso.

    Finisce qui la parte dedicata agli studenti di scuola media e di scuola superiore che, per approfondire, possono leggere la nostra lezione sui numeri naturali.

    Proprietà dell'insieme N (solo per universitari)

    Le proprietà dell'insieme N elencate qui di seguito si rivolgono ai soli studenti universitari.

    8) (\mathbb{N},+), ossia l'insieme N con l'operazione di somma +, è un monoide commutativo: esiste infatti l'elemento neutro rispetto alla somma e l'addizione tra numeri naturali gode della proprietà commutativa e della proprietà associativa.

    9) (\mathbb{N},\cdot), dove · indica il prodotto tra numeri naturali, è un semigruppo commutativo: il prodotto tra numeri naturali gode infatti della proprietà commutativa e della proprietà associativa.

    10) Nell'insieme N vale la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma, infatti per ogni a,b,c \in \mathbb{N} risulta:

    a \cdot (b+c) = a\cdot b + a \cdot c

    11) Le proprietà 8), 9), 10) e l'esistenza dell'elemento neutro rispetto al prodotto permettono di concludere che (\mathbb{N},+, \cdot) è un semianello unitario commutativo.

    12) Poiché, ad eccezione dello 0, nessun elemento dell'insieme N ha inverso additivo, (\mathbb{N},+) non è un gruppo. Di conseguenza (\mathbb{N},+, \cdot) non può essere né un anello né un campo.

    Fine! ;)

    Risposta di Galois
 
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