Insieme N

L'insieme N si indica con il simbolo ℕ ed è l'insieme numerico dei numeri naturali, come ad esempio 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ossia l'insieme di tutti i numeri interi non negativi che si ottengono partendo da zero e aggiungendo di volta in volta un'unità.

Elementi dell'insieme N

L'insieme N è formato dai numeri che impariamo a usare fin da piccoli per contare:

Da un punto di vista formale l'insieme N dei numeri naturali si indica con la lettera , ossia raddoppiando la barra trasversale della lettera N. In questo modo si ha la certezza di non confonderlo con nessun altro insieme.

Zero come elemento incluso o escluso nell'insieme N

Alcuni libri di testo non considerano lo zero un elemento dell'insieme N, ossia definiscono i numeri naturali a partire dal numero 1.

La scelta è del tutto libera ed entrambe le definizioni sono corrette e accettate. Da parte nostra preferiamo la definizione che include lo zero, quindi con insieme N ci riferiamo all'insieme dei numeri naturali, zero incluso.

Vale la pena di precisare che:

- se si considera lo zero come elemento dell'insieme N, allora si denota l'insieme dei numeri naturali con lo zero escluso con

- se non si considera lo zero come elemento dell'insieme N, allora si denota l'insieme dei numeri naturali con lo zero incluso con 

Proprietà dell'insieme N

Passiamo ad elencare le proprietà di cui gode l'insieme N.

1) L'insieme N è un insieme infinito, infatti i numeri naturali sono infiniti.

2) L'insieme N è un sottoinsieme proprio dell'insieme Z, che a sua volta è un sottoinsieme dell'insieme Q, che a sua volta è un sottoinsieme dell'insieme R. In simboli:

3) L'insieme N è un insieme ordinato: dato un numero naturale, è sempre possibile stabilire se è maggiore, minore o uguale rispetto a un altro numero naturale.

4) Addizione e moltiplicazione sono operazioni interne all'insieme N; in altri termini la somma e il prodotto tra due numeri naturali sono ancora numeri naturali.

5) Sottrazione e divisione non sono operazioni interne all'insieme N, ossia la differenza e il rapporto tra due numeri naturali non sono necessariamente numeri naturali. Come esempi possiamo considerare

che è un numero intero relativo preceduto dal segno meno;

che è un numero decimale.

6) Lo zero è l'elemento neutro rispetto alla somma: sommando 0 a qualsiasi elemento dell'insieme N si ottiene il numero stesso.

7) L'1 è l'elemento neutro rispetto al prodotto: moltiplicando qualsiasi elemento dell'insieme N per 1 si ottiene il numero stesso.

Finisce qui la parte dedicata agli studenti di scuola media e di scuola superiore che, per approfondire, possono leggere la nostra lezione sui numeri naturali.

Proprietà dell'insieme N (solo per universitari)

Le proprietà dell'insieme N elencate qui di seguito si rivolgono ai soli studenti universitari.

8) , ossia l'insieme N con l'operazione di somma +, è un monoide commutativo: esiste infatti l'elemento neutro rispetto alla somma e l'addizione tra numeri naturali gode della proprietà commutativa e della proprietà associativa.

9) , dove · indica il prodotto tra numeri naturali, è un semigruppo commutativo: il prodotto tra numeri naturali gode infatti della proprietà commutativa e della proprietà associativa.

10) Nell'insieme N vale la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma, infatti per ogni risulta:

11) Le proprietà 8), 9), 10) e l'esistenza dell'elemento neutro rispetto al prodotto permettono di concludere che è un semianello unitario commutativo.

12) Poiché, ad eccezione dello 0, nessun elemento dell'insieme N ha inverso additivo, non è un gruppo. Di conseguenza non può essere né un anello né un campo.

Fine! ;)