Soluzioni
  • L'insieme N indica l'insieme dei numeri naturali, ossia l'insieme di tutti i numeri interi non negativi che si ottengono partendo dal numero zero ed aggiungendo, di volta in volta, un'unità.

    \mathbb{N}=\{0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8, \ ...\}

    Dunque l'insieme N è formato dai numeri che impariamo ad utilizzare fin dalla scuola primaria e che usiamo ogni giorno per contare.

    Da un punto di vista formale, l'insieme N dei numeri naturali si indica con la lettera \mathbb{N}, ossia raddoppiano la barra trasversale della lettera N. In tal modo si ha la certezza di non confonderlo con nessun altro insieme.

    Prima di procedere oltre ci teniamo a precisare che alcuni libri di testo non considerano lo zero un elemento dell'insieme N, ossia definiscono i numeri naturali a partire dal numero 1.

    \mathbb{N}=\{1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8, \ ...\}

    La scelta è del tutto libera ed entrambe le definizioni sono corrette ed accettate. Noi preferiamo la definizione che include lo zero, quindi con insieme N ci riferiamo all'insieme dei numeri naturali, zero incluso. ;)

    Proprietà dell'insieme N

    Qui di seguito riportiamo tutte le proprietà di cui gode l'insieme N.

    1) L'insieme N è un insieme infinito, quindi i numeri naturali sono infiniti.

    2) L'insieme N è un sottoinsieme proprio dell'insieme Z, che a sua volta è un sottoinsieme dell'insieme Q, il quale è un sottoinsieme dell'insieme R. In simboli:

    \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

    3) L'insieme N è un insieme ordinato, cioè dato un numero naturale è sempre possibile stabilire se è maggiore, minore o uguale di un altro numero naturale.

    4) Addizione e moltiplicazione sono operazioni interne all'insieme N; in altri termini, la somma ed il prodotto tra due numeri naturali è ancora un numero naturale.

    5) Sottrazione e divisione non sono operazioni interne all'insieme N, ossia la differenza ed il rapporto tra due numeri naturali non è necessariamente un numero naturale. Come esempi possiamo considerare

    8-10=-2

    che è un numero intero relativo preceduto dal segno meno;

    5:10=0,5

    che è un numero decimale.

    6) Lo zero è l'elemento neutro rispetto alla somma, cioè sommando 0 a qualsiasi elemento dell'insieme N si ottiene il numero stesso.

    7) L'1 è l'elemento neutro rispetto al prodotto, ossia moltiplicando qualsiasi elemento dell'insieme N per 1 si ottiene il numero stesso.

    Finisce qui la parte dedicata agli studenti di scuola media e di scuola superiore che, per approfondire, possono leggere la nostra lezione sui numeri naturali.

    Proprietà dell'insieme N (solo per universitari)

    Le proprietà dell'insieme N che trovate qui di seguito sono riservate ai soli studenti universitari.

    8) (\mathbb{N},+), ossia l'insieme N con l'operazione di somma è un monoide commutativo, infatti esiste l'elemento neutro rispetto alla somma e l'addizione tra numeri naturali gode della proprietà commutativa e della proprietà associativa.

    9) (\mathbb{N},\cdot), dove · indica il prodotto tra numeri naturali, è un semigruppo commutativo in quanto il prodotto tra numeri naturali gode della proprietà commutativa e della proprietà associativa.

    10) Nell'insieme N vale la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma, ossia per ogni a, \ b, \ c \in \mathbb{N}:

    a \codt (b+c) = a\cdot b + a \cdot c

    11) Le proprietà 8), 9), 10) e l'esistenza dell'elemento neutro rispetto al prodotto, permettono di concludere che (\mathbb{N},+, \cdot) è un semianello unitario commutativo.

    12) Poiché, ad eccezione dello 0, nessun elemento dell'insieme N ha inverso additivo, (\mathbb{N},+) non è un gruppo. Di conseguenza (\mathbb{N},+, \cdot) non potrà essere né un anello né un campo.

    Fine! ;)

    Risposta di Galois
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