2senxcosx

Giuseppe Carichino (Galois) -

A cosa è uguale 2senxcosx? In un'identità goniometrica ho trovato 2sen(x)cos(x) e non so con cosa sostituirlo.

Soluzione

2senxcosx equivale al seno di 2x

2sin(x)cos(x) = sin(2x)

Quindi, se in un esercizio sulle identità goniometriche trovi l'espressione 2sen(x)cos(x) puoi sostituirla con sen(2x).

La formula precedente è una delle formule goniometriche e prende il nome di formula di duplicazione del seno, la quale afferma che il seno di 2x è uguale al doppio prodotto tra il seno ed il coseno di x.

Dimostrazione della formula 2sen(x)cos(x)=sen(2x)

Per dimostrare che 2sen(x)cos(x)=sen(2x) dobbiamo partire dal sen(2x) e scriverlo come segue

sin(2x) = sin(x+x)

Applichiamo poi la formula di addizione del seno, secondo la quale

sin(α+β) = sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β) 

Sostituendo sia α che β con x si ottiene

sin(x+x) = sin(x)cos(x)+cos(x)sin(x)

Per la proprietà commutativa del prodotto

cos(x)sin(x) = sin(x)cos(x)

Possiamo così concludere che

sin(x+x) = sin(x)cos(x)+cos(x)sin(x) = sin(x)cos(x)+sin(x)cos(x) = 2sin(x)cos(x)

Esempio

Supponiamo che x sia uguale a 30 gradi.

Dai valori notevoli delle funzioni goniometriche sappiamo che

sin(x) = sin(30°) = (1)/(2) ; cos(x) = cos(30°) = (√(3))/(2)

Pertanto

2sin(x)cos(x) = 2·(1)/(2)·(√(3))/(2) = (√(3))/(2)

Vediamo ora quanto vale il seno di 2x. Per x=30° si ha

sin(2x) = sin(2·30°) = sin(60°) = (√(3))/(2)

e tale valore coincide proprio con 2sen(x)cos(x).

Per un ripasso sulle formule goniometriche rimandiamo alla pagina del link. ;)

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