1-cos^2x

1-cos^2x equivale al seno al quadrato di x, ossia

Tale relazione discende direttamente dall'identità fondamentale della Trigonometria, secondo la quale

Portando a secondo membro si ottiene infatti

Dimostrazione

Per dimostrare che 1-cos^2(x) equivale al seno al quadrato di x disegniamo una circonferenza goniometrica ed indichiamo con x l'ampiezza di un angolo avente:

- il primo lato coincidente con il semiasse delle ascisse positive;

- il secondo lato tale da intersecare la circonferenza in un punto P del primo quadrante.

Siano poi H e K le proiezioni ortogonali del punto P sull'asse x e sull'asse y.

Il triangolo di vertici O, P, H è un triangolo rettangolo e, per definizione di seno e coseno di un angolo:

Inoltre, essendo il raggio di una circonferenza goniometrica , per la formula inversa del teorema di Pitagora applicata al triangolo rettangolo di vertici O, P, H risulta che

da cui

Abbiamo così dimostrato che corrisponde al seno al quadrato di x.

Esempio

Supponiamo che x sia uguale a 30 gradi.

Ricordando che il coseno di 30 gradi vale √3/2 abbiamo che

Verifichiamo che tale valore coincide con il seno al quadrato di x. Poiché il seno di 30 gradi vale 1/2:

che coincide proprio col valore di .

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