Soluzioni
  • 1-cos^2x equivale al seno al quadrato di x, ossia

    1-\cos^2(x)=\sin^2(x)

    Tale relazione discende direttamente dall'identità fondamentale della Trigonometria, secondo la quale

    \cos^2(x)+\sin^2(x)=1

    Portando \cos^2(x) a secondo membro si ottiene infatti

    \sin^2(x)=1-\cos^2(x)

    Dimostrazione

    Per dimostrare che 1-cos^2(x) equivale al seno al quadrato di x disegniamo una circonferenza goniometrica ed indichiamo con x l'ampiezza di un angolo avente:

    - il primo lato coincidente con il semiasse delle ascisse positive;

    - il secondo lato tale da intersecare la circonferenza in un punto P del primo quadrante.

     

    1 cos 2 x

     

    Siano poi H e K le proiezioni ortogonali del punto P sull'asse x e sull'asse y.

    Il triangolo di vertici O, P, H è un triangolo rettangolo e, per definizione di seno e coseno di un angolo:

    \\ \overline{OH}=\cos(x) \\ \\ \overline{PH}=\overline{OK}=\sin(x)

    Inoltre, essendo il raggio di una circonferenza goniometrica \overline{OP}=1, per la formula inversa del teorema di Pitagora applicata al triangolo rettangolo di vertici O, P, H risulta che

    \overline{OP}^2-\overline{OH}^2=\overline{PH}^2

    da cui

    1-\cos^2(x)=\sin^2(x)

    Abbiamo così dimostrato che 1-\cos^2(x) corrisponde al seno al quadrato di x.

    Esempio

    Supponiamo che x sia uguale a 30 gradi.

    Ricordando che il coseno di 30 gradi vale √3/2 abbiamo che

    1-\cos^2(x)=1-\cos^2(30^{\circ})=1-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}

    Verifichiamo che tale valore coincide con il seno al quadrato di x. Poiché il seno di 30 gradi vale 1/2:

    \sin^2(30^{\circ})=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}

    che coincide proprio col valore di 1-\cos^2(30^{\circ}).

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    Risposta di Galois
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