Soluzioni
  • Ciao Giacomo22, un attimo di pazienza e ti rispondo .

    Risposta di Omega
  • Il discorso non è complicato quanto sembra.

    Credo che il tuo dubbio derivi dal fatto che confondi la condizione necessaria per la convergenza di una serie, cioè che il termine generale tenda a zero per n tendente a + infinito, con una condizione necessaria e sufficiente di convergenza.

    Se il termine generale tende a zero allora la serie può convergere. Ciò non significa che sicuramente converge!

    Se invece il termine generale non tende a zero, allora sicuramente la serie non converge.

    Questo articolo potrebbe schiarirti un po' le idee sul significato di condizione necessaria, sufficiente, necessaria e sufficiente.

    Risposta di Omega
  • Scusami ho mancato un termine alla prima domanda:

    Perchè la serie armonica ∑ 1/n=+∞ è una serie divergente e la serie armonica generalizzata ∑ 1/na=+∞ per a>0 è convergente?

    Potresti farmi qualche esempio pratico per capire?

    (l'articolo l'ho letto ma non mi è di grande aiuto per ciò che non capito io)

    Risposta di giacomo22
  • Un esempio?

    \sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{1}{n}}=+\infty

    \sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{1}{n^2}}<+\infty

    Questi risultati (trovi la spiegazione completa nella lezione sulla serie armonica generalizzata) non sono risultati immediati, ma veri e propri teoremi che richiedono una dimostrazione.

    Se c'è quanche passaggio che non ti torna, però, saremo ben lieti di aiutarti!

     

    Risposta di Omega
  • Non riesco proprio a spiegarmi il fatto che

    \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}=+\infty

    diverge e che

    \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}<+\infty

    cioè sommando numeri la somma diventa sempre più grande nell'uno e nell'altro caso. Come è possibile?

    Risposta di giacomo22
  • Beh, una giustificazione risiede nel fatto che 1/n2 va a zero molto più velocemente di 1/n.

    La dimostrazione rigorosa è tutto un altro paio di maniche, e ti invito a darci un'occhiata sul tuo (o un qualche) libro di testo di Analisi 1.

    Se poi hai dei dubbi sulla dimostrazione, non devi fare altro che chiedere!

    Risposta di Omega
 
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