Uno dei tanti miei..limiti! con logaritmo...

Ciao Palombaro Nero, il limite di cui ci chiedi la soluzione va risolto con il confronto tra infiniti, di cui parliamo nella lezione dell'omonimo link (per sapere il procedimento risolutivo).

Il limite si risolve in un passaggio, e bisogna solo scrivere il risultato, che è zero.

Questo è dovuto al fatto che ln(1+x²) agli effetti del limite per x→+∞ si comporta esattamente come ln(x²). Sommare una costante, qui +1, non cambia nulla, e in gergo si dice che ln(1+x²) è asintotico a ln(x²) per x→+∞.

D'altra parte ln(x²) è uguale a 2ln(x), per le proprietà dei logaritmi.

Ci rimane così da confrontare 2ln(x) con 3x², e a questo punto basta osservare che x² è un infinito di ordine superiore a ln(x). Le costanti positive che moltiplicano degli infiniti (qui 2 e 3) non hanno alcun effetto.

Dato che l'infinito di ordine superiore (in soldoni la funzione che va più velocemente all'infinito) si trova a denominatore, il rapporto tende nel limite a zero. La giustificazione non rigorosa è che quando x→+∞ il denominatore è più veloce e trascina il numeratore a zero.

Viceversa, se l'infinito di ordine superiore fosse stato a numeratore, allora il rapporto del limite sarebbe stato un infinito.

Risolto?

PS: per scrivere in un modo migliore puoi usare i comandi dell'editor con cui scrivi la domanda. Nel frattempo stiamo implementando un sistema che permetterà di scrivere formule bellissime, già disponibile nel Forum, e di cui abbiamo già pubblicato una guida qui: formule LaTeX.

Namasté - Agente Ω