Soluzioni
  • x^3=1 è un'equazione di terzo grado che in campo reale ammette un'unica soluzione data da x=1.

    x^3=1 \iff x=1

    Per ottenere le soluzioni di x^3=1 è sufficiente estrarre la radice cubica di 1, che nell'insieme \mathbb{R} dei numeri reali è esattamente 1

    x^3=1 \iff x=\sqrt[3]{1} \iff x=1

    Vediamo adesso come si risolve l'equazione x^3=1 in campo complesso. Se non hai ancora studiato i numeri complessi puoi fermarti qui con la lettura. ;)

    Risolvere x^3=1 in campo complesso

    Da un corollario del teorema fondamentale dell'Algebra sappiamo che un'equazione di terzo grado ammette in \mathbb{C} esattamente tre soluzioni, contate con la loro molteplicità.

    Pertanto, essendo x^3=1 un'equazione di terzo grado, essa ammetterà nell'insieme \mathbb{C} esattamente tre soluzioni.

    Tali soluzioni si ottengono calcolando le radici terze di 1, infatti

    x^3=1 \iff x=\sqrt[3]{1}

    Per procedere al calcolo procederemo con il metodo spiegato nella lezione sulle radici di un numero complesso.

    Per trovare le radici terze di 1 dobbiamo anzitutto trovare modulo e argomento del numero z=1, che è scritto in forma algebrica:

    z=a+ib

    con a=1 \mbox{ e } b=0.

    Il suo modulo è

    r=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1}=1

    mentre il suo argomento è

    \theta=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)=\arctan(0)=0

    Abbiamo ora tutto quello che ci occorre per trovare le radici terze 1 che sono date da

    z_k=\sqrt[3]{r}\left(\cos\left( \frac{\theta+2k\pi}{3} \right)+i\sin\left( \frac{\theta+2k\pi}{3} \right) \right)

    con k \in \{0,1,2\}

    Ossia

    z_k=\sqrt[3]{1}\left(\cos\left( \frac{0+2k\pi}{3} \right)+i\sin\left( \frac{0+2k\pi}{3} \right) \right)

    Tali radici coincidono con le soluzioni dell'equazione x^3=1.

    Procediamo al calcolo avendo ben presenti i valori notevoli delle funzioni goniometriche.

    \\ \mbox{Per}\ k=0\\ \\ z_0=\sqrt[3]{1}\left(\cos\left( \frac{0}{3} \right)+i\sin\left( \frac{0}{3} \right) \right)=\cos(0)+i\sin(0)=1\\ \\ \\ \mbox{Per }k=1\\ \\ z_1=\sqrt[3]{1}\left(\cos\left( \frac{2\pi}{3} \right)+i\sin\left( \frac{2\pi}{3} \right) \right)=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\\ \\ \\ \mbox{Per }k=2\\ \\ z_2=\sqrt[3]{1}\left(\cos\left( \frac{4\pi}{3} \right)+i\sin\left( \frac{4\pi}{3} \right) \right)=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i

    Possiamo così concludere che le soluzioni dell'equazione x^3=1 in campo complesso sono

    \\ z_0=1 \\ \\ z_1= -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \\ z_2=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}

    È tutto! ;)

    Risposta di Galois
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