Soluzioni
  • (a+b)^3 e (a-b)^3 sono due cubi di binomio; in particolare (a+b)^3 è il cubo del binomio (a+b) mentre (a-b)^3 è il cubo del binomio (a-b).

    Gli sviluppi di (a+b)^3 e di (a-b)^3 si ottengono utilizzando la regola per lo sviluppo di un cubo di binomio, grazie alla quale possiamo scrivere

    \\ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \\ \\ (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

    Come possiamo notare entrambi gli sviluppi sono formati dagli stessi monomi e differiscono solo per il segno di alcuni elementi.

    Sviluppo del cubo di binomio (a+b)^3

    In generale, per scrivere lo sviluppo di un cubo di binomio dobbiamo individuare i due monomi che formano il binomio di partenza, considerando anche i loro segni.

    Nel caso di (a+b)^3 i due monomi sono +a e +b.

    Fatto ciò possiamo scriverne lo sviluppo che è un polinomio dato dalla somma tra:

    - il cubo del primo monomio: a^3

    - il triplo prodotto tra il quadrato del primo monomio ed il secondo monomio: 3a^2b

    - il triplo quadrato tra il primo monomio ed il quadrato del secondo: 3ab^2

    - il cubo del secondo monomio: b^3

    Pertanto

    (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

    Sviluppo del cubo di binomio (a-b)^3

    (a-b)^3 è un cubo di binomio formato dai due monomi +a e -b.

    Per scriverne lo sviluppo dobbiamo utilizzare la regola vista poc'anzi, prestando maggior attenzione al segno; infatti in questo caso il secondo monomio è preceduto dal segno meno. Procediamo!

    - Il cubo del primo monomio è a^3

    - il triplo prodotto tra il quadrato del primo ed il secondo è 3 \cdot a^2 \cdot (-b) = -3a^2b

    - il triplo quadrato tra il primo ed il quadrato del secondo è 3 \cdot a \cdot (-b)^2 = 3ab^2

    - il cubo del secondo monomio è (-b)^3=-b^3

    Dalla loro somma si ottiene lo sviluppo cercato:

    (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

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    Risposta di Galois
 
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