Soluzioni
  • I multipli di 9 sono tutti e soli i numeri interi divisibili per 9. Più chiaramente i multipli di 9 sono lo zero e i numeri interi, negativi e positivi, tali che la divisione tra ciascuno di essi e 9 ha resto uguale a zero.

    In modo del tutto equivalente possiamo dire che i multipli di 9 si calcolano moltiplicando 9 per ciascuno dei numeri interi relativi, che sono i numeri interi preceduti dal segno meno o dal segno più, incluso lo zero. Da ciò si deduce che i multipli di 9 sono infiniti, per cui è impossibile scrivere un elenco che li contenga tutti.

    Ad esempio:

    - alcuni multipli non negativi di 9 sono i risultati della tabellina del 9

    0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90

    e si calcolano moltiplicando 9 per i numeri naturali compresi tra 0 e 10.

    - Alcuni multipli negativi di 9 sono:

    -9, -18, -27, -36, -45, -54, -63, -72, -81, -90

    e si ottengono moltiplicando 9 per i numeri interi negativi compresi tra -1 e -10.

    Tra poco spiegheremo come si stabilisce se un numero è un multiplo di 9, ma prima facciamo una precisazione sui multipli negativi.

    Il concetto di multiplo di un numero è un argomento che, a livello didattico, viene affrontato prima dei numeri interi relativi, ma che viene ripreso anche dopo. Se ancora non hai studiato l'insieme Z e quindi non sai cosa sono i numeri negativi, per il momento puoi considerare solo i multipli positivi di 9, dati dal prodotto tra 9 e i numeri naturali.

    Come stabilire se un numero è un multiplo di 9

    Per stabilire se un numero è un multiplo di 9 è sufficiente controllare se è divisibile per 9: se lo è, allora è un suo multiplo, in caso contrario non lo è.

    Per effettuare la verifica possiamo applicare più metodi, e in particolare:

    - scomporre il numero in fattori primi;

    - calcolare il quoziente e il resto della divisione per 9;

    - usare il criterio di divisibilità per 9.

    Se il numero da controllare è negativo vi consigliamo di considerare il suo opposto, indipendentemente dal metodo scelto.

    Controllo dei multipli di 9 con la scomposizione in fattori primi

    Poiché 9 è il quadrato di 3

    9 = 3^2

    un numero è un multiplo di 9 se nella sua scomposizione in fattori primi compare il fattore 3 con esponente maggiore o uguale a 2.

    Ad esempio:

    • 63, 135 e 162 sono multipli di 9 perché nelle rispettive scomposizioni c'è il fattore 3 con esponente maggiore o uguale a 2

    \\ 63 = 3^2 \times 7 \\ \\ 135=3^3 \times 5 \\ \\ 162=2 \times 3^4

    • 15, 98 e 120 non sono multipli di 9, in quanto nella loro scomposizione non compare il numero 3 oppure, se presente, ha esponente 1

    \\ 15 = 3 \times 5 \\ \\ 98 = 2 \times 7^2 \\ \\ 120=2^3 \times 3 \times 5

    Controllo dei multipli di 9 con la divisione

    Un metodo alternativo per controllare se un numero è un multiplo di 9 consiste nel dividerlo per 9:

    - se il resto della divisione è zero, allora è un multiplo di 9;

    - se il resto della divisione è diverso zero, allora non è un multiplo di 9.

    Facciamo un esempio e stabiliamo quali tra 36, 47, 102, 108 e 144 sono multipli di 9.

    Calcoliamo le rispettive divisioni:

    \\ 36:9 = 4 \ \mbox{ resto } 0 \\ \\ 47:9=5 \ \mbox{ resto } 2 \\ \\ 102:9=11 \ \mbox{ resto } 3 \\ \\ 108:9=12 \ \mbox{ resto } 0 \\ \\ 144:9 = 16 \ \mbox{ resto } 0

    Tra i numeri considerati i multipli di 9 sono 36, 108 e 144, perché i resti delle loro divisioni per 9 sono nulli.

    Controllo dei multipli di 9 con il criterio di divisibilità

    L'ultimo metodo che proponiamo è l'applicazione del criterio di divisibilità per 9. Si tratta del procedimento più comodo e veloce da usare, soprattutto quando il numero da controllare ha tre o più cifre e quindi diventa laborioso scomporlo in fattori primi o dividerlo per 9.

    Il criterio di divisibilità per 9 stabilisce che un numero è divisibile per 9, e quindi è un suo multiplo, se la somma delle sue cifre è 9 oppure un multiplo di 9.

    Se la somma è un numero grande, per cui non sappiamo dire se si tratta di un multiplo di 9, possiamo reiterare il procedimento fino a ottenere un numero più piccolo.

    A titolo di esempio consideriamo i numeri 5121 e 985897.

    Partiamo da 5121 e sommiamone le cifre. Poiché

    5+1+2+1 = 9

    ne deduciamo che 5121 è un multiplo di 9.

    Passiamo ora a 985897. La somma delle sue cifre è 46

    9+8+5+8+9+7=46

    Se conosciamo la tabellina del 9 dovremmo essere in grado di dire che 46 non è un multiplo di 9. Tuttavia per esserne certi reiteriamo il procedimento e calcoliamo la somma delle cifre del numero 46

    4+6=10

    Evidentemente 10 non è un multiplo di 9, per cui non lo è neanche il numero 985897.

    ***

    Per fare un ripasso sulle definizioni e sui metodi con cui si calcolano multipli, sottomultipli e divisori di un numero, puoi leggere la lezione dell'omonimo link. ;)

    Risposta di Galois
 
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