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  • L'insieme Q rappresenta l'insieme dei numeri razionali relativi, ossia l'insieme di tutti i numeri che possono essere espressi tramite frazione e che sono preceduti da segno positivo (+), negativo (-) o nullo. Per l'esattezza l'unico elemento di segno nullo è lo zero.

    Attenzione quindi a non confondere l'insieme Q dei numeri razionali relativi con l'insieme Q+ dei numeri razionali assoluti che si studia al primo anno di scuola media.

    Quando si parla di insieme Q ci si riferisce ai numeri razionali con segno e quindi possiamo pensare all'insieme Q come a quell'insieme dato dall'unione tra:

    - l'insieme \mathbb{Q}^+ dei numeri razionali assoluti;

    - l'insieme \mathbb{Q}^- dei numeri razionali negativi.

    \mathbb{Q}=\mathbb{Q}^+ \cup \mathbb{Q}^-

    Da un punto di vista formale, ci si riferisce all'insieme Q dei numeri razionali indicandolo con la lettera \mathbb{Q}, ossia raddoppiando la parte destra e sinistra della lettera Q. In tal modo si ha la certezza di non confonderlo con nessun altro insieme. :)

    Elementi dell'insieme Q

    Come anticipato gli elementi dell'insieme Q sono tutti quei numeri esprimibili sotto forma di frazione e che sono preceduti da un segno. Pertanto gli elementi dell'insieme Q si presentano nella forma \frac{a}{b} dove a e b sono due qualsiasi numeri interi relativi, con b diverso da zero. In formule:

    c \in \mathbb{Q} \iff c=\frac{a}{b}, \mbox{ con } a, b \in \mathbb{Z}, \ b \neq 0

    Ad esempio:

    -\frac{7}{3},\ \ \ -\frac{1}{2},\ \ \ 5,\ \ \ -8,\ \ \ \frac{13}{20}

    sono elementi dell'insieme Q.

    Proprietà dell'insieme Q

    Le proprietà di cui gode l'insieme Q sono elencate e spiegate qui di seguito.

    1) L'insieme Z dei numeri interi relativi è un sottoinsieme proprio dell'insieme Q, ossia \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}

     

    Insieme q

     

    Infatti, ciascun numero intero si può scrivere come frazione il cui denominatore è 1

    5 = \frac{5}{1}, \ \ \ -13=\frac{-13}{1}, \ \ \ 75=\frac{75}{1}

    quindi i numeri interi relativi possono essere pensati come numeri razionali e di conseguenza ogni elemento dell'insieme Z appartiene all'insieme Q.

    2) L'insieme Q è un insieme infinito, cioè con infiniti elementi.

    3) Addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione sono operazioni interne all'insieme Q. Ciò vuol dire che somma algebrica, prodotto e rapporto tra due numeri razionali è ancora un numero razionale.

    4) L'estrazione di radice non è un'operazione interna all'insieme Q. Ad esempio, calcolando la radice di 2 si ottiene un numero decimale non periodico

    \sqrt{2}=1,4142135623...

    per cui non esiste una frazione generatrice.

    Questa proprietà ha portato all'introduzione dell'insieme \mathbb{I} dei numeri irrazionali che si definisce come differenza tra l'insieme \mathbb{R} dei numeri reali e l'insieme \mathbb{Q} dei numeri razionali

    \mathbb{I}=\mathbb{R}-\mathbb{Q}

    5) Lo zero è l'elemento neutro rispetto alla somma e l'1 è l'elemento neutro rispetto al prodotto. Cioè sommando 0 o moltiplicando 1 a qualsiasi numero razionale si ottiene il numero stesso.

     

    Si conclude qui la parte dedicata agli studenti delle scuole medie ed ai ragazzi del liceo che, per approfondire, possono leggere la nostra lezione sui numeri razionali - click!

    Proprietà dell'insieme Q (solo per universitari)

    Le proprietà dell'insieme Q che elencheremo qui di seguito sono riservate ai soli studenti universitari.

    6) L'insieme Q è un insieme numerabile, ossia esiste una corrispondenza biunivoca tra l'insieme Q e l'insieme N dei numeri naturali.

    7) L'insieme Q è un insieme denso in \mathbb{R}, dove \mathbb{R} indica l'insieme dei numeri reali.

    8) Ogni elemento dell'insieme Q ha inverso additivo, cioè per ogni a \in \mathbb{Q} esiste -a \in \mathbb{Q} tale che

    a+(-a)=0

    9) Ogni elemento non nullo dell'insieme Q ha inverso moltiplicativo, ossia per ogni a\in \mathbb{Q}-\{0\} esiste a^{-1}=\frac{1}{a} tale che

    a \cdot \frac{1}{a}=1

    10) Indicando con + la somma tra numeri razionali e con · il prodotto tra numeri razionali, \left(\mathbb{Q},+\right) \mbox{ e } \left(\mathbb{Q}-\{0\}, \cdot\right) sono due gruppi abeliani, infatti:

    - addizione e moltiplicazione godono della proprietà commutativa e della proprietà associativa;

    - esiste l'elemento neutro sia rispetto alla somma che rispetto al prodotto;

    - ogni elemento dell'insieme Q ha inverso additivo ed ogni elemento dell'insieme Q, ad eccezione dello zero, ha inverso moltiplicativo.

    11) Nell'insieme Q vale la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione, cioè per ogni a, \ b, \ c \in \mathbb{Q}:

    a \cdot (b+c)=(a \cdot b)+(a \cdot c)

    12) Le proprietà 10) e 11) ci permettono di affermare che \left(\mathbb{Q,+,\cdot}\right) è un campo, detto campo dei numeri razionali, il quale è un sottocampo di \mathbb{R}.

    Risposta di Galois
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