Soluzioni
  • (x+y)^2 e (x-y)^2 sono due quadrati di binomio. Nello specifico (x+y)^2 è il quadrato del binomio (x+y), mentre (x-y)^2 è il quadrato del binomio (x-y).

    Gli sviluppi di (x+y)^2 e (x-y)^2 si ottengono usando la regola per lo sviluppo di un quadrato del binomio e sono i seguenti:

    \\ (x+y)^2 = x^2 +2xy + y^2 \\ \\ (x-y)^2 = x^2-2xy+y^2

    In generale il quadrato del binomio A+B è uguale al quadrato del primo monomio, più il doppio prodotto del primo per il secondo monomio, più il quadrato del secondo monomio:

    (A+B)^2 = A^2+2AB+B^2

    Per quanto possa apparire semplice, la regola dello sviluppo di un quadrato di binomio nasconde una piccola insidia: un errore comune tra gli studenti alle prime armi è quello di sbagliare il segno del doppio prodotto. I due quadrati dello sviluppo sono sempre positivi, mentre il doppio prodotto è:

    - positivo se i coefficienti di A, B sono concordi;

    - negativo se i coefficienti di A, B sono discordi.

    Per calcolare lo sviluppo di quadrato di un binomio ed essere sicuri di non commettere errori, soprattutto di segno, consigliamo di individuare i due monomi da cui è composto il binomio di partenza e di includere i segni da cui sono preceduti, per poi calcolare:

    • il quadrato del primo monomio;

    • il doppio prodotto tra il primo e il secondo monomio;

    • il quadrato del secondo monomio.

    La loro somma è lo sviluppo del quadrato di binomio considerato.

    Mettiamo in pratica quanto abbiamo visto per calcolare gli sviluppi di (x+y)^2 e (x-y)^2.

    Sviluppo del quadrato di binomio (x+y)^2

    I monomi da cui partire per scrivere lo sviluppo di (x+y)^2 sono

    +x \ \ ; \ \ +y

    - Il quadrato del primo monomio è x^2

    (+x)^2=x^2

    - Il doppio prodotto tra il primo e il secondo monomio è 2xy

    2 \cdot (+x) \cdot (+y)=2xy

    - Il quadrato del secondo monomio è y^2

    (+y)^2=y^2

    La loro somma è lo sviluppo di (x+y)^2, ossia

    (x+y)^2 = x^2+2xy+y^2

    Sviluppo del quadrato di binomio (x-y)^2

    Nel caso di (x-y)^2 consideriamo i monomi

    +x \ \ ; \ \ -y

    - Il quadrato del primo monomio è x^2

    (+x)^2 = x^2

    - Il doppio prodotto è -2xy

    2 \cdot (+x) \cdot (-y) = -2xy

    - Il quadrato del secondo monomio è y^2

    (-y)^2=y^2

    La loro somma è lo sviluppo di (x-y)^2, ossia

    (x-y)^2 = x^2 + (-2xy) + y^2 = x^2-2xy+y^2

    ***

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    Risposta di Galois
 
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