(x+y)^2 e (x-y)^2 sono due quadrati di binomio. Nello specifico (x+y)^2 è il quadrato del binomio (x+y), mentre (x-y)^2 è il quadrato del binomio (x-y).
Gli sviluppi di (x+y)^2 e (x-y)^2 si ottengono usando la regola per lo sviluppo di un quadrato del binomio e sono i seguenti:
In generale il quadrato del binomio
è uguale al quadrato del primo monomio, più il doppio prodotto del primo per il secondo monomio, più il quadrato del secondo monomio:
Per quanto possa apparire semplice, la regola dello sviluppo di un quadrato di binomio nasconde una piccola insidia: un errore comune tra gli studenti alle prime armi è quello di sbagliare il segno del doppio prodotto. I due quadrati dello sviluppo sono sempre positivi, mentre il doppio prodotto è:
- positivo se i coefficienti di
sono concordi;
- negativo se i coefficienti di
sono discordi.
Per calcolare lo sviluppo di quadrato di un binomio ed essere sicuri di non commettere errori, soprattutto di segno, consigliamo di individuare i due monomi da cui è composto il binomio di partenza e di includere i segni da cui sono preceduti, per poi calcolare:
• il quadrato del primo monomio;
• il doppio prodotto tra il primo e il secondo monomio;
• il quadrato del secondo monomio.
La loro somma è lo sviluppo del quadrato di binomio considerato.
Mettiamo in pratica quanto abbiamo visto per calcolare gli sviluppi di (x+y)^2 e (x-y)^2.
Sviluppo del quadrato di binomio (x+y)^2
I monomi da cui partire per scrivere lo sviluppo di (x+y)^2 sono
- Il quadrato del primo monomio è
- Il doppio prodotto tra il primo e il secondo monomio è
- Il quadrato del secondo monomio è
La loro somma è lo sviluppo di (x+y)^2, ossia
Sviluppo del quadrato di binomio (x-y)^2
Nel caso di (x-y)^2 consideriamo i monomi
- Il quadrato del primo monomio è
- Il doppio prodotto è
- Il quadrato del secondo monomio è
La loro somma è lo sviluppo di (x-y)^2, ossia
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