Soluzioni
  • y=2^x è una funzione esponenziale con base maggiore di 1, e di cui riportiamo il grafico nella seguente immagine.

     

    2^x

     

    Prima di procedere oltre ci teniamo a precisare che la scrittura 2^x non è formalmente corretta e che, in generale, rappresenta le potenze di 2.

    Se invece, com'era nel tuo intento, vuoi riferirti alla funzione esponenziale con base 2 occorre scrivere

    y=2^x

    Come disegnare la funzione y=2^x

    Per disegnare il grafico della funzione y=2^x è sufficiente ricordare l'andamento della funzione esponenziale con base maggiore di 1, ossia tener presente che:

    - interseca l'asse delle ordinate nel punto P(0,1);

    - il semiasse delle ascisse negative è asintoto verticale sinistro per la funzione;

    - tende a più infinito per x che tende a più infinito.

    Volendo tracciare con maggior precisione, seppur non in modo esatto, la parte del grafico della funzione che si trova nel primo quadrante basta ricavare le coordinate cartesiane di qualche punto appartenente alla funzione.

    Per x=1

    y=2^x=2^1=2

    Per x=2

    y=2^x=2^2=4

    Per x=3

    y=2^x=2^3=8

    Pertanto la funzione passa per i punti A(1,2), \ B(2,4), \ C(3,8).

    Riportando tali punti nel piano cartesiano, e tenendo presenti le informazioni elencate in precedenza, possiamo disegnare il grafico della funzione y=2^x con maggior precisione.

     

    Grafico di y=2^x

     

    Proprietà della funzione y=2^x

    Qui di seguito riportiamo tutte le proprietà di cui gode la funzione y=2^x.

    - Ha come dominio l'insieme \mathbb{R} dei numeri reali.

    - La sua immagine è l'intervallo (0,+\infty), quindi è una funzione strettamente positiva per qualsiasi valore assunto dalla variabile x.

    - È una funzione né pari né dispari.

    - È monotona crescente strettamente su tutto il dominio.

    - È continua e derivabile in tutto \mathbb{R}.

    - La derivata di y=2^x si calcola come derivata di una funzione esponenziale e vale

    \frac{d}{dx}[2^x]=2^x \ln(2)

    - L'integrale della funzione esponenziale y=2^x è

    \int 2^x \ dx = \frac{2^x}{\ln(2)}+c, \ c \in \mathbb{R}

    e con questo è tutto! ;)

    Risposta di Galois
 
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