Soluzioni
  • L'insieme Z indica l'insieme dei numeri interi relativi, ossia l'insieme di tutti i numeri interi con segno positivo (+), negativo (-) o nullo. In particolare l'unico elemento con segno nullo dell'insieme Z è lo zero.

    Volendo essere più precisi diremo che l'insieme Z è formato dall'unione:

    - dell'insieme \mathbb{N} dei numeri naturali

    \mathbb{N}=\{0, 1, 2, 3, 4,...\}

    - dell'insieme \mathbb{N}^{-} dei numeri interi negativi, ossia dei numeri naturali preceduti dal segno meno

    \mathbb{N}^-=\{-1,-2,-3,-4,...\}

    Pertanto

    \mathbb{Z}=\mathbb{N} \cup \mathbb{N}^{-}

    Da un punto di vista formale l'insieme Z dei numeri interi relativi si indica con \mathbb{Z}, ossia raddoppiando la barra trasversale della lettera Z. In questo modo avremo la certezza di non confonderlo con nessun altro insieme. ;)

    Elementi dell'insieme Z

    Gli elementi dell'insieme Z sono tutti e soli i numeri interi, positivi e negativi, zero incluso. Quindi per costruire l'insieme Z è sufficiente prendere l'insieme N dei numeri naturali

    \mathbb{N}=\{0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8, \ ...\}

    per poi ricavare l'insieme \mathbb{N}^- dei numeri interi negativi ponendo un segno meno davanti ai numeri naturali.

    \mathbb{N}^-=\{-1, \ -2, \ -3, \ -4, \ -5, \ -6, \ -7, \ -8, \ ...\}

    Unendo i due insiemi \mathbb{N} \mbox{ ed } \mathbb{N}^- possiamo scrivere gli elementi dell'insieme Z

    \mathbb{Z}=\{..., \ -8, \ -7, \ -6, \ -5, \ -4, \ -3, \ -2, \ -1, \ 0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8, \ ...\}

    Gli elementi dell'insieme Z, se confrontati a coppie, assumono nomi specifici:

    - due elementi di Z che hanno lo stesso segno si dicono numeri concordi;

    - due elementi di Z che hanno segno opposto si dicono numeri discordi;

    - due elementi del''insieme Z aventi stesso valore assoluto ma segno opposto si dicono numeri opposti;

    - due elementi di Z con stesso segno e stesso valore assoluto si dicono uguali.

    Ad esempio:

    • -7 e -123 sono numeri concordi, infatti hanno lo stesso segno;

    • -52 e 94 sono numeri discordi in quanto hanno segno opposto;

    • -15 e 15 sono numeri opposti, infatti hanno stesso valore assoluto ma segno diverso;

    • -8 e -8 sono numeri uguali.

    Proprietà dell'insieme Z

    L'insieme Z gode di tutte le proprietà elencate e spiegate qui di seguito.

    1) L'insieme N dei numeri naturali è un sottoinsieme proprio dell'insieme Z, ossia \mathbb{N}\subset \mathbb{Z}

     

    Insieme Z

    Insieme Z

     

    2) L'insieme Z è un insieme infinito, ossia un insieme con infiniti elementi.

    3) Addizione, sottrazione e moltiplicazione sono operazioni interne all'insieme Z. In altri termini la somma, la differenza ed il prodotto tra due o più numeri interi relativi è ancora un numero intero relativo.

    Questa proprietà si traduce dicendo che l'insieme Z è chiuso rispetto alla somma algebrica ed al prodotto.

    4) La divisione non è un'operazione interna all'insieme Z, infatti la divisione tra due numeri interi non è necessariamente un numero intero. Ad esempio, eseguendo con la calcolatrice la divisione -10:20 si ottiene -0,5 che non è un numero intero.

    Proprio questa proprietà ha portato all'introduzione dell'insieme dei numeri razionali, in cui la divisione è un'operazione interna.

    5) Lo 0 è l'elemento neutro rispetto alla somma. In altri termini sommando lo zero a ciascun numero appartenente all'insieme Z si ottiene il numero stesso.

    6) L'1 è l'elemento neutro rispetto al prodotto, infatti moltiplicando ciascun numero intero per 1 si ottiene il numero stesso.

    ***

    Si conclude qui la parte dedicata agli studenti delle scuole medie e delle scuole superiori che, per approfondire, possono leggere la nostra lezione sui numeri relativi - click!

    Proprietà dell'insieme Z (solo per universitari)

    Le proprietà dell'insieme Z che elencheremo da qui in poi sono riservate a studenti universitari.

    7) Ogni elemento dell'insieme Z ha inverso additivo, ossia per ogni elemento a \in \mathbb{Z} esiste -a \in \mathbb{Z} tale che

    a+(-a)=0

    8) (\mathbb{Z},+) è un gruppo abeliano, infatti l'addizione gode della proprietà commutativa e della proprietà associativa, esiste l'elemento neutro rispetto alla somma ed ogni elemento di Z ha inverso additivo.

    9) (\mathbb{Z},+,\cdot), dove \cdot indica il prodotto tra numeri interi, è un anello commutativo con unità. Infatti (\mathbb{Z},+) è un gruppo abeliano, esiste l'elemento neutro rispetto al prodotto, vale la proprietà associativa del prodotto e la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma.

    10) Ad eccezione di 1 e -1 gli altri elementi dell'insieme Z non hanno inverso moltiplicativo, ossia fissato a\in \mathbb{Z}, \ a\neq \{-1,1\} non esiste alcun elemento b \in\mathbb{Z} tale che a \cdot b = 1.

    Possiamo così concludere che l'insieme Z non è un campo.

    11) L'insieme Z con le operazioni di addizione e prodotto è un dominio d'integrità, infatti è un anello commutativo con unità e vale la legge di annullamento del prodotto.

    12) Il più piccolo campo contenente l'insieme Z è l'insieme Q dei numeri relativi.

    Fine! ;)

    Risposta di Galois
 
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