(x+1)^4 e (x-1)^4

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Come si sviluppano (x+1)^4 e (x-1)^4? Potreste mostrarmi tutti i passaggi per trovare lo sviluppo di (x+1)^4 e (x-1)^4 col triangolo di Tartaglia?

Domanda di FAQ

 
Soluzioni

  • (x+1)^4 e (x-1)^4 sono due potenze di binomio; nello specifico (x+1)^4 è la quarta potenza del binomio x+1, mentre (x+1)^4 è la quarta potenza del binomio x-1.

    Gli sviluppi di (x+1)^4 e di (x-1)^4 sono i seguenti

    \\ (x+1)^4=x^4+4x^3+6x^2+4x+1 \\ \\ (x-1)^4=x^4-4x^3+6x^2-4x+1

    Entrambi gli sviluppi forniscono due polinomi completi ed ordinati secondo le potenze decrescenti della variabile x.

    Sviluppo di (x+1)^4 e (x-1)^4 con il triangolo di Tartaglia

    Il triangolo di Tartaglia consente di trovare lo sviluppo di una qualsiasi potenza di binomio, infatti gli elementi dell'(n+1)-esima riga del triangolo corrispondono ai coefficienti dello sviluppo del binomio (a+b)^n.

    Poiché dobbiamo scrivere lo sviluppo di (x+1)^4 e di (x-1)^4 dobbiamo costruire il triangolo di Tartaglia ed arrestarci alla quinta riga.

    \begin{array}{cccccccccc}&&&&1 \\ &&&1&&1 \\ &&1&&2&&1 \\ &1&&3&&3&&1 \\ 1&&4&&6&&4&&1 \end{array}

    Da qui vediamo che 1, 4, 6, 4 e 1 sono i coefficienti dei termini degli sviluppi di (x+1)^4 e di (x-1)^4

    Per scrivere la parte letterale di ciascuno dei due sviluppi procediamo come segue. Individuiamo i due monomi che formano il binomio di partenza, che sono

    x \mbox{ ed } 1 per il binomio (x+1)

    x \mbox{ e } -1 per il binomio (x-1)

    Ora consideriamo le potenze dei monomi. Moltiplichiamole tra loro facendo in modo che, nel passaggio da un termine al successivo dello sviluppo:

    - le potenze del primo monomio, partendo dall'esponente 4, diminuiscano fino a raggiungere l'esponente 0;

    - le potenze del secondo monomio, partendo da 0, crescano fino a raggiungere l'esponente 4.

    Avremo quindi

    \\ (x+1)^4=... \ x^4\cdot 1^0 + ... \ x^3 \cdot 1^1 + ... \ x^2 \cdot 1^2 + ... \ x \cdot 1^3 + ... \ x^0\cdot 1^4 \\ \\ (x-1)^4=... \ x^4\cdot (-1)^0 + ... \ x^3 \cdot (-1)^1 + ... \ x^2 \cdot (-1)^2 + ... \ x \cdot (-1)^3 + ... \ x^0\cdot (-1)^4

    A questo punto non ci resta che riportare i coefficienti dei termini dello sviluppo, seguendo l'ordine con cui li troviamo nella quinta riga del triangolo di Tartaglia.

    \\ (x+1)^4=1 \ x^4\cdot 1^0 + 4 \ x^3 \cdot 1^1 + 6 \ x^2 \cdot 1^2 + 4 \ x \cdot 1^3 + 1 \ x^0\cdot 1^4 \\ \\ (x-1)^4=1 \ x^4\cdot (-1)^0 + 4 \ x^3 \cdot (-1)^1 + 6 \ x^2 \cdot (-1)^2 + 4 \ x \cdot (-1)^3 + 1 \ x^0\cdot (-1)^4

    Calcolando le potenze di 1 e, facendo attenzione ai segn,i otterremo i due sviluppi cercati

    \\ (x+1)^4=x^4+4x^3+6x^2+4x+1 \\ \\ (x-1)^4=x^4-4x^3+6x^2-4x+1

    Un altro metodo che permette di sviluppare (x+1)^4 e (x-1)^4 è ricorrere al binomio di Newton. Per sapere come si utilizza puoi consultare la lezione del link.

    Risposta di Galois
 
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