(x+1)^4 e (x-1)^4 sono due binomi alla quarta, ossia due potenze di binomio con esponente 4. (x+1)^4 è la potenza alla quarta del binomio (x+1) e si sviluppa come x4+4x3+6x2+4x+1; (x-1)^4 è la potenza alla quarta del binomio (x-1) e si sviluppa come x4-4x3+6x2-4x+1.
Per calcolare gli sviluppi di (x+1)^4 e di (x-1)^4 si usa il triangolo di Tartaglia, uno strumento che fornisce i coefficienti dello sviluppo della potenza di un binomio qualsiasi.
Nello specifico gli elementi della (n+1)-esima riga del triangolo di Tartaglia corrispondono ai coefficienti dello sviluppo della potenza n-esima di un binomio.
Poiché vogliamo sviluppare due binomi alla quarta costruiamo il triangolo di Tartaglia arrestandoci alla quinta riga.
In caso di dubbi ricordiamo che il primo elemento a sinistra e l'ultimo elemento a destra di ogni riga del triangolo sono sempre uguali a 1, e che gli elementi interni di ogni riga si ottengono dalla somma dei due numeri della riga precedente situati sopra di esso:
Costruzione del triangolo di Tartaglia fino alla quinta riga.
Da qui vediamo che i coefficienti dei termini degli sviluppi di (x+1)^4 e di (x-1)^4 sono 1, 4, 6, 4, 1.
Rimane ora la parte più delicata, ossia calcolare la parte letterale degli sviluppi. Per non commettere errori di segno e per avere la giusta corrispondenza con i coefficienti bisogna:
• considerare i monomi che formano il binomio di partenza con il segno da cui sono preceduti;
• calcolare le potenze di ogni monomio dall'esponente 0 all'esponente 4, e moltiplicarle tra loro facendo in modo che, nel passaggio da un termine all'altro dello sviluppo:
- le potenze del primo monomio partano dall'esponente 4 e diminuiscano fino a raggiungere l'esponente 0;
- le potenze del secondo monomio partano dall'esponente 0 e aumentino a fino a raggiungere l'esponente 4.
In questi termini il procedimento potrebbe apparire complicato, ma una volta messo in pratica sembrerà tutto più semplice.
Sviluppo di (x+1)^4
I monomi da cui partire sono
e
.
Iniziamo dalla parte letterale dello sviluppo e indichiamo dei puntini al posto dei coefficienti:
Le potenze del primo monomio partono dall'esponente 4 e decrescono fino ad arrivare all'esponente 0; viceversa, le potenze del secondo monomio partono dall'esponente 0 e crescono fino a raggiungere l'esponente 4.
Proseguiamo inserendo i coefficienti al posto dei puntini, nell'ordine con cui si presentano nel triangolo di Tartaglia: 1, 4, 6, 4 , 1.
Calcoliamo le potenze e i prodotti, ricordando che le potenze alla zero e le potenze di 1 sono tutte uguali a 1
Abbiamo ottenuto lo sviluppo:
Sviluppo del binomio (x-1)^4
Procediamo allo stesso modo. Partiamo dai monomi
e
e scriviamo la parte letterale dello sviluppo
Inseriamo i coefficienti
Calcoliamo le potenze, prestando attenzione ai segni
e svolgiamo le moltiplicazioni
Ci siamo:
***
Un altro metodo per determinare gli sviluppi di (x+1)^4 e di (x-1)^4 è dato dal binomio di Newton, ma si tratta di un argomento universitario che solitamente non viene trattato alle scuole superiori, se non in qualche Liceo Scientifico. Se sei curioso e vuoi sapere di cosa si tratta, ti rimandiamo alla pagina del link.
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