Soluzioni
  • (x+1)^4 e (x-1)^4 sono due binomi alla quarta, ossia due potenze di binomio con esponente 4. (x+1)^4 è la potenza alla quarta del binomio (x+1) e si sviluppa come x4+4x3+6x2+4x+1; (x-1)^4 è la potenza alla quarta del binomio (x-1) e si sviluppa come x4-4x3+6x2-4x+1.

     (x+1)^4 = x^4+4x^3+6x^2+4x+1 ; (x-1)^4 = x^4-4x^3+6x^2-4x+1

    Per calcolare gli sviluppi di (x+1)^4 e di (x-1)^4 si usa il triangolo di Tartaglia, uno strumento che fornisce i coefficienti dello sviluppo della potenza di un binomio qualsiasi.

    Nello specifico gli elementi della (n+1)-esima riga del triangolo di Tartaglia corrispondono ai coefficienti dello sviluppo della potenza n-esima di un binomio.

    Poiché vogliamo sviluppare due binomi alla quarta costruiamo il triangolo di Tartaglia arrestandoci alla quinta riga.

    beginarrayccccccccc 1 ; 1 1 ; 1 2 1 ; 1 3 3 1 ; 1 4 6 4 1 endarray

    In caso di dubbi ricordiamo che il primo elemento a sinistra e l'ultimo elemento a destra di ogni riga del triangolo sono sempre uguali a 1, e che gli elementi interni di ogni riga si ottengono dalla somma dei due numeri della riga precedente situati sopra di esso:

     

    Costruzione del triangolo di Tartaglia

    Costruzione del triangolo di Tartaglia fino alla quinta riga.

     

    Da qui vediamo che i coefficienti dei termini degli sviluppi di (x+1)^4 e di (x-1)^4 sono 1, 4, 6, 4, 1.

    Rimane ora la parte più delicata, ossia calcolare la parte letterale degli sviluppi. Per non commettere errori di segno e per avere la giusta corrispondenza con i coefficienti bisogna:

    • considerare i monomi che formano il binomio di partenza con il segno da cui sono preceduti;

    • calcolare le potenze di ogni monomio dall'esponente 0 all'esponente 4, e moltiplicarle tra loro facendo in modo che, nel passaggio da un termine all'altro dello sviluppo:

    - le potenze del primo monomio partano dall'esponente 4 e diminuiscano fino a raggiungere l'esponente 0;

    - le potenze del secondo monomio partano dall'esponente 0 e aumentino a fino a raggiungere l'esponente 4.

    In questi termini il procedimento potrebbe apparire complicato, ma una volta messo in pratica sembrerà tutto più semplice.

    Sviluppo di (x+1)^4

    I monomi da cui partire sono +x e +1.

    Iniziamo dalla parte letterale dello sviluppo e indichiamo dei puntini al posto dei coefficienti:

     (x+1)^4 = ... (x)^4·(1)^0+... (x)^3·(1)^1+... (x)^2·(1)^2+... (x)^1·(1)^3+... (x)^0·(1)^4 =

    Le potenze del primo monomio partono dall'esponente 4 e decrescono fino ad arrivare all'esponente 0; viceversa, le potenze del secondo monomio partono dall'esponente 0 e crescono fino a raggiungere l'esponente 4.

    Proseguiamo inserendo i coefficienti al posto dei puntini, nell'ordine con cui si presentano nel triangolo di Tartaglia: 1, 4, 6, 4 , 1.

    = 1·(x)^4·(1)^0+4·(x)^3·(1)^1+6·(x)^2·(1)^2+4·(x)^1·(1)^3+1·(x)^0·(1)^4 =

    Calcoliamo le potenze e i prodotti, ricordando che le potenze alla zero e le potenze di 1 sono tutte uguali a 1

    = x^4+4 x^3+6x^2+4x+1

    Abbiamo ottenuto lo sviluppo:

    (x+1)^4 = 1·x^4+4·x^3+6·x^2+4·x+1

    Sviluppo del binomio (x-1)^4

    Procediamo allo stesso modo. Partiamo dai monomi +x e -1 e scriviamo la parte letterale dello sviluppo

     (x-1)^4 = ... (x)^4·(-1)^0+... (x)^3·(-1)^1+... (x)^2·(-1)^2+... (x)^1·(-1)^3+... (x)^0·(-1)^4 =

    Inseriamo i coefficienti

    = 1·(x)^4·(-1)^0+4·(x)^3·(-1)^1+6·(x)^2·(-1)^2+4·(x)^1·(-1)^3+1·(x)^0·(-1)^4

    Calcoliamo le potenze, prestando attenzione ai segni

    = 1·x^4·1+4·x^3·(-1)+6·x^2·1+4·x^1·(-1)+1·1·1 =

    e svolgiamo le moltiplicazioni

    = x^4-4x^3+6x^2-4x+1

    Ci siamo:

    (x-1)^4 = x^4-4x^3+6x^2-4x+1

    ***

    Un altro metodo per determinare gli sviluppi di (x+1)^4 e di (x-1)^4 è dato dal binomio di Newton, ma si tratta di un argomento universitario che solitamente non viene trattato alle scuole superiori, se non in qualche Liceo Scientifico. Se sei curioso e vuoi sapere di cosa si tratta, ti rimandiamo alla pagina del link.

    Da ultimo, ma non per importanza, ti segnaliamo anche la lezione di riepilogo sui prodotti notevoli - click!

    Risposta di Galois
 
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