(x+1)^4 e (x-1)^4

(x+1)^4 e (x-1)^4 sono due binomi alla quarta, ossia due potenze di binomio con esponente 4. (x+1)^4 è la potenza alla quarta del binomio (x+1) e si sviluppa come x⁴+4x³+6x²+4x+1; (x-1)^4 è la potenza alla quarta del binomio (x-1) e si sviluppa come x⁴-4x³+6x²-4x+1.

Per calcolare gli sviluppi di (x+1)^4 e di (x-1)^4 si usa il triangolo di Tartaglia, uno strumento che fornisce i coefficienti dello sviluppo della potenza di un binomio qualsiasi.

Nello specifico gli elementi della (n+1)-esima riga del triangolo di Tartaglia corrispondono ai coefficienti dello sviluppo della potenza n-esima di un binomio.

Poiché vogliamo sviluppare due binomi alla quarta costruiamo il triangolo di Tartaglia arrestandoci alla quinta riga.

In caso di dubbi ricordiamo che il primo elemento a sinistra e l'ultimo elemento a destra di ogni riga del triangolo sono sempre uguali a 1, e che gli elementi interni di ogni riga si ottengono dalla somma dei due numeri della riga precedente situati sopra di esso:

Costruzione del triangolo di Tartaglia fino alla quinta riga.

Da qui vediamo che i coefficienti dei termini degli sviluppi di (x+1)^4 e di (x-1)^4 sono 1, 4, 6, 4, 1.

Rimane ora la parte più delicata, ossia calcolare la parte letterale degli sviluppi. Per non commettere errori di segno e per avere la giusta corrispondenza con i coefficienti bisogna:

• considerare i monomi che formano il binomio di partenza con il segno da cui sono preceduti;

• calcolare le potenze di ogni monomio dall'esponente 0 all'esponente 4, e moltiplicarle tra loro facendo in modo che, nel passaggio da un termine all'altro dello sviluppo:

- le potenze del primo monomio partano dall'esponente 4 e diminuiscano fino a raggiungere l'esponente 0;

- le potenze del secondo monomio partano dall'esponente 0 e aumentino a fino a raggiungere l'esponente 4.

In questi termini il procedimento potrebbe apparire complicato, ma una volta messo in pratica sembrerà tutto più semplice.

Sviluppo di (x+1)^4

I monomi da cui partire sono e .

Iniziamo dalla parte letterale dello sviluppo e indichiamo dei puntini al posto dei coefficienti:

Le potenze del primo monomio partono dall'esponente 4 e decrescono fino ad arrivare all'esponente 0; viceversa, le potenze del secondo monomio partono dall'esponente 0 e crescono fino a raggiungere l'esponente 4.

Proseguiamo inserendo i coefficienti al posto dei puntini, nell'ordine con cui si presentano nel triangolo di Tartaglia: 1, 4, 6, 4 , 1.

Calcoliamo le potenze e i prodotti, ricordando che le potenze alla zero e le potenze di 1 sono tutte uguali a 1

Abbiamo ottenuto lo sviluppo:

Sviluppo del binomio (x-1)^4

Procediamo allo stesso modo. Partiamo dai monomi e e scriviamo la parte letterale dello sviluppo

Inseriamo i coefficienti

Calcoliamo le potenze, prestando attenzione ai segni

e svolgiamo le moltiplicazioni

Ci siamo:

***

Un altro metodo per determinare gli sviluppi di (x+1)^4 e di (x-1)^4 è dato dal binomio di Newton, ma si tratta di un argomento universitario che solitamente non viene trattato alle scuole superiori, se non in qualche Liceo Scientifico. Se sei curioso e vuoi sapere di cosa si tratta, ti rimandiamo alla pagina del link.

Da ultimo, ma non per importanza, ti segnaliamo anche la lezione di riepilogo sui prodotti notevoli - click!