Ho fatto una domanda uguale, scusate... solo una cosa, potete rispondermi alla seconda parte della domanda, il P.S.? E poi non ho capito come si determina una base del nucleo nel caso in cui esso abbia dimensione non nulla... :(
Potresti replicare nell'altra domanda? Così non disperdiamo la risoluzione...
Certamente, allora:
se un esercizio mi chiede autovalori e autovettori e vedere se è diagonalizzabile l'endomorfismo f:R^3->R^3 di R^3 nel risferimento canonico dalla matrice A=(e mi da la matrice), devo semplicemente trovare autovalori, autovettori della matrice che mi da e vedere se essa è diagonalizzabile?
Mi fate un esempio di calcolo di nucleo di un applicazione lineare per piacere, che non mi è tanto chiaro? L'immagine l'ho capita, ma il nucleo no. Parto sempre col teorema della dimensione per sapere la dimensione del nucleo. Grazie!
Per la prima parte della domanda: certamente!
Per l'esempio: prendiamo proprio l'applicazione dell'esercizio che hai proposto nella domanda.
La generica immagine è (2x1,0,3x3,2x4), per trovare il nucleo la poni uguale a zero:
(2x1,0,3x3,2x4)=(0,0,0,0)
Se ci fai caso, hai una incognita libera: quella corrispondente all'equazione 0=0. Attribuiscile come valore un parametro libero, ad esempio
con
un generico valore reale.Puoi allora scrivere qualsiasi elemento del nucleo come
quindi (0,1,0,0) genera il nucleo, ed essendo un unico vettore, è chiaramente linearmente indipendente (=0 solo se prendi
).Quindi, è una base del nucleo. Quindi il nucleo ha dimensione 1.
Come vedi non sempre è necessario partire dal teorema della dimensione per conoscere la dimensione del nucleo! Dipende da quello che preventivamente conosci.
In questo caso sai automaticamente, sempre per il teorema della dimensione, che l'immagine ha dimensione 3.
Se invece avessi avuto 2 equazioni libere, avresti dovuto assegnare due parametri liberi a due incognite, e scrivere il generico elemento del nucleo com combinazione lineare di due opportuni vettori. Che, se linearmente indipendenti, avrebbero costituito una base del nucleo. Che quindi avrebbe avuto dimensione 2.
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