Soluzioni
  • sin(2x) indica il seno di 2x ed è uguale a due volte il prodotto tra il seno ed il coseno di x.

    \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)

    Quella appena scritta è la formula che consente di calcolare il sin(2x) e prende il nome di formula di duplicazione del seno.

    Esempio di applicazione del sin(2x)

    La formula per il sin(2x) permette di esprimere il sin(2x) attraverso seno e coseno di x. Essa è particolarmente utile perché, grazie al sin(2x), possiamo ricavare il seno di alcuni angoli partendo dai valori notevoli delle funzioni goniometriche.

    Ad esempio, poiché

    120^{\circ}=2\cdot 60^{\circ}

    per ricavare il valore del seno di 120 gradi possiamo far ricorso alla formula per il sin(2x) e sostituire x con 60°.

    \sin(120^{\circ})=\sin(2\cdot 60^{\circ})=2\sin(60^{\circ})\cos(60^{\circ})

    Ricordando i valori notevoli del seno di 60 gradi e del coseno di 60

    \\ \sin(60^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \\ \cos(60^{\circ})=\frac{1}{2}

    sostituendo tali valori nella relazione precedente, otteniamo

    \sin(120^{\circ})=2\sin(60^{\circ})\cos(60^{\circ})=2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}

    Dimostrazione della formula del sin(2x)

    Per dimostrare la formula del sin(2x) si utilizza la formula di addizione del seno

    \sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\cos(\beta)

    dove sia \alpha che \beta vanno sostituite con x.

    \sin(2x)=\sin(x+x)=\sin(x)\cos(x)+\cos(x)\sin(x)

    Per la proprietà commutativa del prodotto

    \cos(x)\sin(x)=\sin(x)\cos(x)

    quindi le due quantità a secondo membro possono essere sommate

    \sin(2x)=\sin(x+x)=\sin(x)\cos(x)+\cos(x)\sin(x)=2\sin(x)\cos(x)

    Abbiamo così dimostrato la formula del sin(2x).

    Per un ripasso sulle formule trigonometriche - click!

    Risposta di Galois
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