Soluzioni
  • sin(2x) indica il seno di 2x ed è uguale a due volte il prodotto tra il seno ed il coseno di x.

    sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

    Quella appena scritta è la formula che consente di calcolare il sin(2x) e prende il nome di formula di duplicazione del seno.

    Esempio di applicazione del sin(2x)

    La formula per il sin(2x) permette di esprimere il sin(2x) attraverso seno e coseno di x. Essa è particolarmente utile perché, grazie al sin(2x), possiamo ricavare il seno di alcuni angoli partendo dai valori notevoli delle funzioni goniometriche.

    Ad esempio, poiché

    120° = 2·60°

    per ricavare il valore del seno di 120 gradi possiamo far ricorso alla formula per il sin(2x) e sostituire x con 60°.

    sin(120°) = sin(2·60°) = 2sin(60°)cos(60°)

    Ricordando i valori notevoli del seno di 60 gradi e del coseno di 60

     sin(60°) = (√(3))/(2) ; cos(60°) = (1)/(2)

    sostituendo tali valori nella relazione precedente, otteniamo

    sin(120°) = 2sin(60°)cos(60°) = 2·(√(3))/(2)·(1)/(2) = (√(3))/(2)

    Dimostrazione della formula del sin(2x)

    Per dimostrare la formula del sin(2x) si utilizza la formula di addizione del seno

    sin(α+β) = sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)

    dove sia α che β vanno sostituite con x.

    sin(2x) = sin(x+x) = sin(x)cos(x)+cos(x)sin(x)

    Per la proprietà commutativa del prodotto

    cos(x)sin(x) = sin(x)cos(x)

    quindi le due quantità a secondo membro possono essere sommate

    sin(2x) = sin(x+x) = sin(x)cos(x)+cos(x)sin(x) = 2sin(x)cos(x)

    Abbiamo così dimostrato la formula del sin(2x).

    Per un ripasso sulle formule trigonometriche - click!

    Risposta di Galois
 
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