Soluzioni
  • Ciao Namis, un attimo e arrivo a risponderti! :)

    Risposta di Omega
  • Molto semplicemente:

    1) trova la matrice associata all'applicazione lineare;

    2) Calcola una base del nucleo risolvendo il sistema lineare omogeneo Ax=0;

    3) Se il nucleo è costituito solamente dal vettore nullo l'applicazione è iniettiva. Se è iniettiva, il teorema di nullità più rango ti dice in automatico che l'applicazione è anche suriettiva, questo perché stiamo lavorando con un ENDOMORFISMO.

    (Nota: l'iniettività implica la suriettività di endomorfismi, e viceversa, solamente in spazi FINITO-dimensionali)

    4) Per trovare una base del sottospazio W assegna due parametri liberi alle variabili t ed u, e trova i vettori che permettono di ottenere tutti gli elementi di W come combinazioni lineari di essi;

    5) Le immagini dei vettori della base considerata per il sottospazio W costituiscono un SISTEMA DI GENERATORI dell'immagine del sottospazio mediante l'applicazione lineare, cioè di f(W), da cui poi dovrai estrarre una base.

    Fammi sapere se hai problemi!

    Namasté - Agente \Omega

    Risposta di Omega
  • Ok, ho capito, solo alcune domande di chiarimento:

    Quindi possiamo dire che per ogni esercizio che mi chieda di verificare l'iniettività e la suriettività posso procedere sempre in questo modo?

    Se mi avesse chiesto una base dell'immagine avrei dovuto prendere le colonne della matrice associata all'applicazione, metterle come righe di un'altra matrice, ridurla a gradini e i vettori costituenti sono una base dell'im? E ovviamente, il numero la dimensione della base di im?

    Per trovare una base del nucleo invece: se l'applicazione è iniettiva non ci sono basi, sennò avrei dovuto trovare altri vettori linearmente indipendenti dal nucleo fino a raggiungere il numero della dimensione?

    Risposta di namis
  • Per la prima domanda: sì, puoi procedere sempre in questo modo.

    Per la seconda, vedi base dell'immagine di un'applicazione lineare.

    Per la terza domanda: corretto.

    Risposta di Omega
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