Esercizio applicazioni lineari: iniettività/suriettività, base e immagine.
Ciao, volevo sapere come si svolge questo esercizio sulle applicazioni lineari e in particolare sull'immagine di un sottospazio mediante un'applicazione lineare.
Sia 
l'applicazione lineare tale che 
e sia 
uno spazio vettoriale di 
.
Dire se f è iniettiva e/o suriettiva
trovare una base di 
determinare il sottospazio 
di 
Grazie!
Ciao Namis, un attimo e arrivo a risponderti! :)
Molto semplicemente:
1) trova la matrice associata all'applicazione lineare;
2) Calcola una base del nucleo risolvendo il sistema lineare omogeneo Ax=0;
3) Se il nucleo è costituito solamente dal vettore nullo l'applicazione è iniettiva. Se è iniettiva, il teorema di nullità più rango ti dice in automatico che l'applicazione è anche suriettiva, questo perché stiamo lavorando con un ENDOMORFISMO.
(Nota: l'iniettività implica la suriettività di endomorfismi, e viceversa, solamente in spazi FINITO-dimensionali)
4) Per trovare una base del sottospazio W assegna due parametri liberi alle variabili t ed u, e trova i vettori che permettono di ottenere tutti gli elementi di W come combinazioni lineari di essi;
5) Le immagini dei vettori della base considerata per il sottospazio W costituiscono un SISTEMA DI GENERATORI dell'immagine del sottospazio mediante l'applicazione lineare, cioè di f(W), da cui poi dovrai estrarre una base.
Fammi sapere se hai problemi!
Namasté - Agente
Ok, ho capito, solo alcune domande di chiarimento:
Quindi possiamo dire che per ogni esercizio che mi chieda di verificare l'iniettività e la suriettività posso procedere sempre in questo modo?
Se mi avesse chiesto una base dell'immagine avrei dovuto prendere le colonne della matrice associata all'applicazione, metterle come righe di un'altra matrice, ridurla a gradini e i vettori costituenti sono una base dell'im? E ovviamente, il numero la dimensione della base di im?
Per trovare una base del nucleo invece: se l'applicazione è iniettiva non ci sono basi, sennò avrei dovuto trovare altri vettori linearmente indipendenti dal nucleo fino a raggiungere il numero della dimensione?
Per la prima domanda: sì, puoi procedere sempre in questo modo.
Per la seconda, vedi base dell'immagine di un'applicazione lineare.
Per la terza domanda: corretto.
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