cosx=1

Come si risolve l'equazione cosx=1? Oltre alle soluzioni vorrei che mi faceste vedere tutti i passaggi da seguire per trovare le soluzioni dell'equazione cosx=1.

In Superiori - Analisi - Domanda di FAQ

 
Soluzioni

  • cosx=1 è un'equazione goniometrica elementare con il coseno ed ha come soluzione

    x=2k\pi

    con k che varia nell'insieme \mathbb{Z} dei numeri interi relativi.

    Prima di vedere come si risolve questa equazione, precisiamo che sarebbe più corretto scriverla come cos(x)=1; infatti il coseno è una funzione e quindi il suo argomento andrebbe racchiuso tra una coppia di parentesi tonde.

    Come si risolve l'equazione cos(x)=1

    cos(x)=1 è un'equazione goniometrica elementare, ossia un'equazione della forma

    \cos(x)=n, \ \mbox{ con } n=1

    Per definizione, il coseno di un angolo è l'ascissa dei punti della circonferenza goniometrica associati a tale angolo, quindi risolvere l'equazione cos(x)=1 equivale a trovare i punti della circonferenza goniometrica la cui ascissa è uguale ad 1, per poi ricavare gli angoli che essi individuano.

    Per trovare i punti della circonferenza goniometrica di ascissa uguale ad 1 è sufficiente disegnare una circonferenza goniometrica, ossia una circonferenza centrata nell'origine degli assi e con raggio 1, e la retta di equazione x=1.

     

    cosx=1

     

    La circonferenza e la retta si intersecano nel punto (1,0), e il segmento che congiunge l'origine con il punto (1,0) forma col semiasse delle ascisse positive un angolo nullo, ossia un angolo di 0°.

    Da qui capiamo che il coseno di 0° è uguale ad 1

    \cos(0^o)=1

    e possiamo affermare che nell'intervallo [0,2\pi) l'equazione cos(x)=1 ha un'unica soluzione data da

    x=0

    Infine, ricordando che il coseno è una funzione periodica di periodo 2\pi possiamo concludere che

    \cos(x)=1 \iff x=0^{\circ}+2k\pi \iff x=2k\pi, \ k \in \mathbb{Z}

    Risolvere cos(x)=1 tramite i valori notevoli delle funzioni goniometriche

    Ancor prima di studiare le equazioni goniometriche si imparano i valori notevoli delle funzioni goniometriche. Chi li ha studiati con attenzione avrà notato che nell'intervallo [0,2\pi) l'unico valore in cui il coseno di x vale 1 è per x=0°.

    Ciò è sufficiente ad affermare che l'equazione cos(x)=1 è soddisfatta per

    x=0^{\circ} + 2k\pi, \ k \in \mathbb{Z}

    ossia per

    x=2k\pi, \ k \in \mathbb{Z}

    Risolvere cos(x)=1 col metodo grafico

    Risolvere l'equazione cos(x)=1 col metodo grafico equivale a trovare le ascisse dei punti di intersezione tra il grafico della funzione coseno

    y=\cos(x)

    ed il grafico della retta di equazione

    y=1

     

    Cosx 1 metodo grafico

     

    Come possiamo osservare nell'immagine precedente, le ascisse dei punti di intersezione tra i due grafici, e quindi le soluzioni dell'equazione cos(x)=1 sono proprio

    x=2k\pi, \ k \in \mathbb{Z}

    Per vedere come si risolve la relativa disequazione ti invito a leggere la nostra lezione sulle disequazioni goniometriche - click!

    Risposta di Galois
 
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