cosx=1

Come si risolve l'equazione cosx=1? Oltre alle soluzioni vorrei che mi faceste vedere tutti i passaggi da seguire per trovare le soluzioni dell'equazione cosx=1, ed eventualmente la rappresentazione con la circonferenza goniometrica e quella di y=cosx come funzione.

Domanda di FAQ

Soluzioni

cosx=1 è un'equazione goniometrica elementare con il coseno ed ha come soluzione
$x=2k\pi$
con che varia nell'insieme $\mathbb{Z}$ dei numeri interi relativi.
Prima di vedere come si risolve questa equazione, precisiamo che sarebbe più corretto scriverla come cos(x)=1; infatti il coseno è una funzione e quindi il suo argomento andrebbe racchiuso tra una coppia di parentesi tonde.
Come si risolve l'equazione cos(x)=1
cos(x)=1 è un'equazione goniometrica elementare, ossia un'equazione della forma
$\cos(x)=n, \ \mbox{ con } n=1$
Per definizione, il coseno di un angolo è l'ascissa dei punti della circonferenza goniometrica associati a tale angolo, quindi risolvere l'equazione cos(x)=1 equivale a trovare i punti della circonferenza goniometrica la cui ascissa è uguale ad 1, per poi ricavare gli angoli che essi individuano.
Per trovare i punti della circonferenza goniometrica di ascissa uguale ad 1 è sufficiente disegnare una circonferenza goniometrica, ossia una circonferenza centrata nell'origine degli assi e con raggio 1, e la retta di equazione x=1.

Equazione cos(x)=1 sulla circonferenza goniometrica.

La circonferenza e la retta si intersecano nel punto , e il segmento che congiunge l'origine con il punto forma col semiasse delle ascisse positive un angolo nullo, ossia un angolo di 0°.
Da qui capiamo che il coseno di 0° è uguale ad 1
$\cos(0^o)=1$
e possiamo affermare che nell'intervallo $[0,2\pi)$ l'equazione cos(x)=1 ha un'unica soluzione data da
Infine, ricordando che il coseno è una funzione periodica di periodo $2\pi$ possiamo concludere che
$\cos(x)=1 \iff x=0^{\circ}+2k\pi \iff x=2k\pi, \ k \in \mathbb{Z}$
Risolvere cos(x)=1 tramite i valori notevoli delle funzioni goniometriche
Ancor prima di studiare le equazioni goniometriche si imparano i valori notevoli delle funzioni goniometriche. Chi li ha studiati con attenzione avrà notato che nell'intervallo $[0,2\pi)$ l'unico valore in cui il coseno di x vale 1 è per x=0°.
Ciò è sufficiente ad affermare che l'equazione cos(x)=1 è soddisfatta per
$x=0^{\circ} + 2k\pi, \ k \in \mathbb{Z}$
ossia per
$x=2k\pi, \ k \in \mathbb{Z}$
Risolvere cos(x)=1 col metodo grafico
Risolvere l'equazione cos(x)=1 col metodo grafico equivale a trovare le ascisse dei punti di intersezione tra il grafico della funzione coseno
$y=\cos(x)$
ed il grafico della retta di equazione

Risoluzione grafica dell'equazione cos(x)=1.

Come possiamo osservare nell'immagine precedente, le ascisse dei punti di intersezione tra i due grafici, e quindi le soluzioni dell'equazione cos(x)=1 sono proprio
$x=2k\pi, \ k \in \mathbb{Z}$
***
Per vedere come si risolve la relativa disequazione ti invito a leggere la nostra lezione sulle disequazioni goniometriche - click!
Risposta di Galois

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