Soluzioni
  • I multipli di 11 sono tutti e soli i numeri interi che sono divisibili per 11, come ad esempio 0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110. Più esplicitamente un multiplo di 11 è un qualsiasi numero intero (positivo, negativo o nullo) tale che la divisione tra il numero considerato e 11 ha resto uguale a zero.

    Ad esempio 22 è un multiplo di 11, infatti

    22:11 = 2 \ \mbox{ resto } 0

    mentre 35 non è un multiplo di 11, in quanto

    35:11 = 3 \ \mbox{ resto } 2

    Calcolo dei multipli di 11

    Per calcolare i multipli di 11 si deve moltiplicare 11 per ciascuno dei numeri interi relativi, che sono lo zero e i numeri interi preceduti dal segno meno o dal segno più. Da ciò deduciamo che i multipli di 11 sono infiniti, dunque è impossibile scrivere un elenco che li contenga tutti.

    Per capire come si procede possiamo però calcolarne qualcuno.

    • Alcuni multipli non negativi di 11 sono i risultati della tabellina del 11:

    0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110

    e si ottengono moltiplicando 11 per i numeri naturali compresi tra 0 e 10.

    • Alcuni multipli negativi di 11 sono:

    -11, -22, -33, -44, -55, -66, -77, -88, -99, -110

    e si ricavano moltiplicando 11 per i numeri interi compresi tra -1 e -10.

    Prima di procedere e vedere come stabilire se un numero è un multiplo di 11, facciamo una piccola precisazione sui multipli negativi.

    Il concetto di multiplo di un numero viene studiato per la prima volta nella scuola primaria, dopodiché viene riproposto nel primo anno di scuola media. In entrambe le circostanze si lavora con l'insieme N dei numeri naturali (0, 1, 2, 3, ...) e dunque ci si limita a considerare solo i multipli non negativi di 11, dati dal prodotto tra 11 e i numeri naturali.

    Proseguendo con gli studi si introduce l'insieme Z dei numeri interi relativi (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...) e da quel momento si considerano anche i multipli negativi.

    Come stabilire se un numero è un multiplo di 11

    Per stabilire se un numero è un multiplo di 11 si deve controllare se esso è divisibile per 11: se lo è, è un suo multiplo; in caso contrario non lo è.

    Per effettuare la verifica possiamo procedere in diversi modi:

    - calcolare il quoziente e il resto della divisione per 11;

    - servirci della scomposizione in fattori primi;

    - usare il criterio di divisibilità per 11.

    Se il numero da controllare è negativo conviene considerare direttamente il suo opposto, indipendentemente dal metodo scelto.

    Controllo dei multipli di 11 con la divisione

    Il metodo più usato è quello di calcolare il quoziente e il resto della divisione tra il numero considerato e 11, e di controllare il resto:

    - se è zero, allora il numero è un multiplo di 11;

    - se è diverso da zero, allora il numero non è un multiplo di 11.

    Facciamo un esempio e stabiliamo quali tra 33, 56, 77, 101 e 121 sono multipli di 11.

    Svolgiamo le rispettive divisioni:

    \\ 33:11 = 3 \ \mbox{ resto } 0 \\ \\ 56:11 = 5 \ \mbox{ resto } 1 \\ \\ 77:11 = 7 \ \mbox{ resto } 0 \\ \\ 101:11 = 9 \ \mbox{ resto } 2 \\ \\ 121:11 = 11 \ \mbox{ resto } 0

    Tra i numeri considerati i multipli di 1 sono 33, 77 e 121, perché le loro divisioni per 11 hanno resto uguale a zero.

    Controllo dei multipli di 11 con la scomposizione in fattori primi

    Un ulteriore metodo si basa sulla scomposizione in fattori primi.

    Poiché 11 è un numero primo, un numero è un multiplo di 11 se e solo se nella sua scomposizione in primi è presente il fattore 11; in caso contrario non è un suo multiplo.

    Ecco qualche esempio:

    • 198, 616 e 726 sono multipli di 11 perché nelle rispettive scomposizioni c'è il fattore 11

    \\ 198 = 2 \times 3^2 \times 11 \\ \\ 616=2^3 \times 7 \times 11 \\ \\ 726= 2 \times 3 \times 11^2

    • 45, 171 e 294 non sono multipli di 11, infatti nelle loro scomposizioni non compare 11

    45= 3^2 \times 5 \\ \\ 171= 3^2 \times 19 \\ \\ 294=2 \times 3 \times 7^2

    Controllo dei multipli di 11 con il criterio di divisibilità

    Il criterio di divisibilità per 11 asserisce che un numero è un divisibile per 11, e quindi è un suo multiplo, se e solo se il valore assoluto della differenza tra la somma delle cifre di posto pari e la somma delle cifre di posto dispari è uguale a 0, oppure a 11, oppure a un multiplo di 11.

    Se dopo aver applicato il criterio per la prima volta si ottiene un numero grande, per cui non si riesce a dire se è un multiplo di 11, si può riapplicare il criterio al numero ottenuto (anche più volte).

    Vediamo un paio di esempi.

    • Verificare che 9361 è un multiplo di 11.

    Le cifre di posto pari sono 3 e 1, e la loro somma è 4 (3+1=4).

    Le cifre di posto dispari sono 9 e 6, e la loro somma è 15 (9+6=15).

    Il valore assoluto della differenza tra la somma delle cifre di posto pari e la somma delle cifre di posto dispari è 11

    |4-15|=|-11|=11

    dunque 9361 è un multiplo di 11.

    • Stabilire se 23571 è un multiplo di 11.

    Le cifre di posto pari sono 3 e 7, e la loro somma è 10.

    Le cifre di posto dispari sono 2, 5 e 1, e la loro somma è 8.

    Il valore assoluto della differenza tra la somma delle cifre di posto pari e la somma delle cifre di posto dispari è uguale a 2

    |10-8|=2

    dunque 23571 non è un multiplo di 11.

    ***

    Lettura consigliata: multipli, sottomultipli e divisori di un numero - click!

    Risposta di Galois
 
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