Come dimostrare che dei limiti non esistono?

Come posso verificare e dimostrare che non esistono i seguenti limiti?

per x→∞ lim sin2(x)

per x→∞ lim sin(x2)

per x→0 lim sin(|x|)

Domanda di giacomo22
Soluzioni

Ciao Giacomo22, un attimo di pazienza e arrivo a risponderti!

Risposta di Omega

Dei tre limiti che ci proponi l'unico che esiste è il terzo:

lim_(x → 0)sin(|x|) = 0

Per gli altri due limiti, invece, ti basta osservare che il limite inferiore e che il limite superiore (risp. liminf e limsup) non coincidono.

Namasté - Agente Ω

Risposta di Omega

Mi hanno spiegato che per negare l’esistenza di tale limite basta trovare due successioni {an} e {bn} entrambe divergenti a +∞ tali che

Lim sin2(an) ≠ Lim sin2(bn)

Tali due successioni sono, ad esempio

an=n∏,   bn= an+∏/2

- Sulla prima riesce infatti sin2(an)=0 mentre sulla seconda riesce sin2(bn)=1

- Non riesco però a capire il perché di quest’ ultima affermazione che ho scritto

Risposta di giacomo22

Ragioniamo quindi sulla funzione

sin^(2)(x).

Beh, il seno nei punti del tipo nπ vale 0, che poi è il liminf per x tendente a infinito di sen2(x).

Nei punti del tipo nπ+(π)/(2) il seno invece vale sempre +1 o -1, e quindi il quadrato del seno vale +1, che poi è il limsup della funzione.

Limsup≠Liminf, cioè il limite

lim_(x → +∞)sin^(2)(x)

non esiste.

Risposta di Omega

Non capisco però perchè rispettivamente sono liminf e limsup?

Risposta di giacomo22

Perchè le due successioni di punti (entrambe vanno all'infinito) sono costruite apposta in modo da farti trovare il più piccolo valore e il più grande valore che la funzione può assumere.

Niente di più e niente di meno: non è difficile vedere che il quadrato del seno può assumere solamente valori compresi tra 0 e +1. Quindi trovi due successioni di punti che producano tali valori - le suddette successioni - e tali valori sono di conseguenza il limite inferiore e il limite superiore.

CHE non coincidono, dunque non esiste il limite della funzione per x tendente a + infinito.

Così è più chiaro?

Risposta di Omega

Ok ora è più chiaro :) però c'è per x→0 lim sin(|x|) che non è uguale a zero perchè mi è stato spiegato che, tenuto conto che sin(0) ≠ sin(-1), si riconosce che il limite da sinistra e diverso dal limite da destra e, quindi, non esiste il limite in 0.

Ma non riesco a capire il perchè?

Risposta di giacomo22

Acciderbole, chi ti ha detto che il limite per x tendente a zero di

sin(|x|)

non è zero? Eccome, se è zero...

Che poi, cosa c'entra sin(-1) se x tende a zero?...

Fammi sapere

Risposta di Omega

Perché il prof ci ha detto che basta osservare che

x ϵ (-1,0)  → [x]=-1                   per x → 0- lim sin(|x|)=sin(-1)

 

x ϵ (0,1)  → [x]=0                       per x → 0+  lim sin(|x|)=sin(0)

e quindi tenuto conto che sin(0) ≠ sin(-1) si riconosce che il limite da sinistra e diverso dal limite da destra e, quindi, non esiste il limite in 0. Non credo sia sbagliata la risoluzione ma non riesco a capire ne analiticamente ne graficamente questo risultato!

Risposta di giacomo22

ATTENZIONE: io mi riferivo al valore assoluto, che poi è quello che hai scritto nel testo della domanda.

|x|

Il tuo professore, e quindi l'esercizio, fanno riferimento alla parte intera

[x]

e in tal caso è chiaro che il limite non esiste, proprio per l'osservazione che hai fatto tu!

Risposta di Omega

Che scemo che sono stato! :( Scusami, hai ragione...e ti ringrazio tantissimo per la disponibilità! :)

Risposta di giacomo22

Domande della categoria Università - Analisi
Esercizi simili e domande correlate