Come dimostrare che dei limiti non esistono?

Come posso verificare e dimostrare che non esistono i seguenti limiti?

per x→∞ lim sin2(x)

per x→∞ lim sin(x2)

per x→0 lim sin(|x|)

In Uni - Analisi - Domanda di giacomo22

Soluzioni

  • Ciao Giacomo22, un attimo di pazienza e arrivo a risponderti!

    Risposta di Omega

  • Dei tre limiti che ci proponi l'unico che esiste è il terzo:

    \lim_{x\to 0}{\sin{|x|}}=0

    Per gli altri due limiti, invece, ti basta osservare che il limite inferiore e che il limite superiore (risp. liminf e limsup) non coincidono.

    Namasté - Agente \Omega

    Risposta di Omega

  • Mi hanno spiegato che per negare l’esistenza di tale limite basta trovare due successioni {an} e {bn} entrambe divergenti a +∞ tali che

    Lim sin2(an) ≠ Lim sin2(bn)

    Tali due successioni sono, ad esempio

    an=n∏,   bn= an+∏/2

    - Sulla prima riesce infatti sin2(an)=0 mentre sulla seconda riesce sin2(bn)=1

    - Non riesco però a capire il perché di quest’ ultima affermazione che ho scritto

    Risposta di giacomo22

  • Ragioniamo quindi sulla funzione

    \sin^{2}{(x)}.

    Beh, il seno nei punti del tipo n\pi vale 0, che poi è il liminf per x tendente a infinito di sen2(x).

    Nei punti del tipo n\pi+\frac{\pi}{2} il seno invece vale sempre +1 o -1, e quindi il quadrato del seno vale +1, che poi è il limsup della funzione.

    Limsup≠Liminf, cioè il limite

    \lim_{x\to +\infty}{\sin^{2}{(x)}}

    non esiste.

    Risposta di Omega

  • Non capisco però perchè rispettivamente sono liminf e limsup?

    Risposta di giacomo22

  • Perchè le due successioni di punti (entrambe vanno all'infinito) sono costruite apposta in modo da farti trovare il più piccolo valore e il più grande valore che la funzione può assumere.

    Niente di più e niente di meno: non è difficile vedere che il quadrato del seno può assumere solamente valori compresi tra 0 e +1. Quindi trovi due successioni di punti che producano tali valori - le suddette successioni - e tali valori sono di conseguenza il limite inferiore e il limite superiore.

    CHE non coincidono, dunque non esiste il limite della funzione per x tendente a + infinito.

    Così è più chiaro?

    Risposta di Omega

  • Ok ora è più chiaro :) però c'è per x→0 lim sin(|x|) che non è uguale a zero perchè mi è stato spiegato che, tenuto conto che sin(0) ≠ sin(-1), si riconosce che il limite da sinistra e diverso dal limite da destra e, quindi, non esiste il limite in 0.

    Ma non riesco a capire il perchè?

    Risposta di giacomo22

  • Acciderbole, chi ti ha detto che il limite per x tendente a zero di

    \sin{|x|}

    non è zero? Eccome, se è zero...

    Che poi, cosa c'entra sin(-1) se x tende a zero?...

    Fammi sapere

    Risposta di Omega

  • Perché il prof ci ha detto che basta osservare che

    x ϵ (-1,0)  → [x]=-1                   per x → 0- lim sin(|x|)=sin(-1)

     

    x ϵ (0,1)  → [x]=0                       per x → 0+  lim sin(|x|)=sin(0)

    e quindi tenuto conto che sin(0) ≠ sin(-1) si riconosce che il limite da sinistra e diverso dal limite da destra e, quindi, non esiste il limite in 0. Non credo sia sbagliata la risoluzione ma non riesco a capire ne analiticamente ne graficamente questo risultato!

    Risposta di giacomo22

  • ATTENZIONE: io mi riferivo al valore assoluto, che poi è quello che hai scritto nel testo della domanda.

    |x|

    Il tuo professore, e quindi l'esercizio, fanno riferimento alla parte intera

    [x]

    e in tal caso è chiaro che il limite non esiste, proprio per l'osservazione che hai fatto tu!

    Risposta di Omega

  • Che scemo che sono stato! :( Scusami, hai ragione...e ti ringrazio tantissimo per la disponibilità! :)

    Risposta di giacomo22
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