Come dimostrare che dei limiti non esistono?
Come posso verificare e dimostrare che non esistono i seguenti limiti?
per x→∞ lim sin2(x)
per x→∞ lim sin(x2)
per x→0 lim sin(|x|)
Ciao Giacomo22, un attimo di pazienza e arrivo a risponderti!
Risposta di Omega
Dei tre limiti che ci proponi l'unico che esiste è il terzo:
Per gli altri due limiti, invece, ti basta osservare che il limite inferiore e che il limite superiore (risp. liminf e limsup) non coincidono.
Namasté - Agente 
Risposta di Omega
Mi hanno spiegato che per negare l’esistenza di tale limite basta trovare due successioni {an} e {bn} entrambe divergenti a +∞ tali che
Lim sin2(an) ≠ Lim sin2(bn)
Tali due successioni sono, ad esempio
an=n∏, bn= an+∏/2
- Sulla prima riesce infatti sin2(an)=0 mentre sulla seconda riesce sin2(bn)=1
- Non riesco però a capire il perché di quest’ ultima affermazione che ho scritto
Risposta di giacomo22
Ragioniamo quindi sulla funzione
.
Beh, il seno nei punti del tipo 
vale 0, che poi è il liminf per x tendente a infinito di sen2(x).
Nei punti del tipo 
il seno invece vale sempre +1 o -1, e quindi il quadrato del seno vale +1, che poi è il limsup della funzione.
Limsup≠Liminf, cioè il limite
non esiste.
Risposta di Omega
Non capisco però perchè rispettivamente sono liminf e limsup?
Risposta di giacomo22
Perchè le due successioni di punti (entrambe vanno all'infinito) sono costruite apposta in modo da farti trovare il più piccolo valore e il più grande valore che la funzione può assumere.
Niente di più e niente di meno: non è difficile vedere che il quadrato del seno può assumere solamente valori compresi tra 0 e +1. Quindi trovi due successioni di punti che producano tali valori - le suddette successioni - e tali valori sono di conseguenza il limite inferiore e il limite superiore.
CHE non coincidono, dunque non esiste il limite della funzione per x tendente a + infinito.
Così è più chiaro?
Risposta di Omega
Ok ora è più chiaro :) però c'è per x→0 lim sin(|x|) che non è uguale a zero perchè mi è stato spiegato che, tenuto conto che sin(0) ≠ sin(-1), si riconosce che il limite da sinistra e diverso dal limite da destra e, quindi, non esiste il limite in 0.
Ma non riesco a capire il perchè?
Risposta di giacomo22
Acciderbole, chi ti ha detto che il limite per x tendente a zero di
non è zero? Eccome, se è zero...
Che poi, cosa c'entra sin(-1) se x tende a zero?...
Fammi sapere
Risposta di Omega
Perché il prof ci ha detto che basta osservare che
x ϵ (-1,0) → [x]=-1 per x → 0- lim sin(|x|)=sin(-1)
x ϵ (0,1) → [x]=0 per x → 0+ lim sin(|x|)=sin(0)
e quindi tenuto conto che sin(0) ≠ sin(-1) si riconosce che il limite da sinistra e diverso dal limite da destra e, quindi, non esiste il limite in 0. Non credo sia sbagliata la risoluzione ma non riesco a capire ne analiticamente ne graficamente questo risultato!
Risposta di giacomo22
ATTENZIONE: io mi riferivo al valore assoluto, che poi è quello che hai scritto nel testo della domanda.
|x|
Il tuo professore, e quindi l'esercizio, fanno riferimento alla parte intera
[x]
e in tal caso è chiaro che il limite non esiste, proprio per l'osservazione che hai fatto tu!
Risposta di Omega
Che scemo che sono stato! :( Scusami, hai ragione...e ti ringrazio tantissimo per la disponibilità! :)
Risposta di giacomo22