Derivata arcocoseno

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Quanto vale la derivata dell'arcocoseno, e come si calcola? Il mio libro si limita a fornire il risultato, senza fare alcun cenno sul metodo di calcolo. Ho provato a ragionarci su e a calcolarla in vari modi, ma non arrivo ad alcuna conclusione.

 

Potreste spiegarmi come calcolare la derivata di arccos(x) e spiegarmi tutti i passaggi?

 

Vorrei anche sapere come si calcola la derivata dell'arcocoseno di una funzione, ossia la derivata dell'arcocoseno di f(x).

Domanda di FAQ

 
Soluzioni

  • La derivata dell'arcocoseno è uguale all'opposto del reciproco della radice della differenza tra 1 e il quadrato di x, ossia la derivata di f(x)=arccos(x) è f'(x)=-1/√(1-x2), e si calcola applicando il teorema per la derivata della funzione inversa.

    (d)/(dx) arccos(x) = -(1)/(√(1-x^2))

    Come calcolare la derivata di arccos(x)

    Per calcolare la derivata dell'arcocoseno di x si usa il teorema di derivazione della funzione inversa, ma prima è necessaria qualche premessa.

    Consideriamo la funzione arcocoseno

    y = arccos(x)

    Ricordiamo che essa è la funzione inversa della funzione coseno sull'intervallo [0,π], per cui l'arcocoseno è una funzione definita sull'intervallo chiuso e limitato [-1,1] e a valori in [0,π]

    arccos: [-1,1] → [0,π]

    In altre parole, se y ∈ [0,π] e se x ∈ [-1,1], allora possiamo scrivere

    y = arccos(x) rightarrow x = cos(y)

    Ciò premesso, prendiamo x_0∈ (-1,1) e y_0 ∈ (0,π) tali che sia

    y_0 = arccos(x_0) ; x_0 = cos(y_0)

    e applichiamo il teorema di derivazione della funzione inversa, secondo cui

    (d)/(dx) arccos(x) |_(x = x_0) = (1)/((d)/(dy) cos(y) |_(y = y_0))

    Nella precedente formula la notazione |_(...) indica il punto di valutazione della derivata prima.

    Sostituiamo la derivata del coseno, che è uguale all'opposto del seno

    (d)/(dx) arccos(x) |_(x = x_0) = (1)/(-sin(y)|_(y = y_0)) = -(1)/(sin(y_0)) = (•)

    Esprimiamo il seno in termini del coseno: facciamo riferimento all'identità fondamentale della Trigonometria

    sin^2(y_0)+cos^2(y_0) = 1

    da cui ricaviamo

    sin(y_0) = ±√(1-cos^2(y_0))

    Poiché y_(0)∈ (0,π), il seno di y_0 ha segno positivo, dunque

    sin(y_0) = √(1-cos^2(y_0))

    Riprendiamo il calcolo della derivata dell'arcocoseno dal punto in cui si siamo fermati e sostituiamo

    (•) = -(1)/(√(1-cos^2(y_0))) =

    Dall'ipotesi iniziale sappiamo che è x_0 = cos(y_0)

    = -(1)/(√(1-x_0^2))

    In definitiva

    (d)/(dx) arccos(x)|_(x = x_0) = -(1)/(√(1-x_0^2))

    e dalla generalità della coppia (x_0,y_0) otteniamo la formula per la derivata dell'arcocoseno

    (d)/(dx) arccos(x) = -(1)/(√(1-x^2))

    Derivata dell'arcocoseno di una funzione

    La derivata dell'arcocoseno di f(x) è uguale all'opposto del rapporto tra la derivata di f(x) e la radice quadrata di 1 meno il quadrato di f(x), come garantito dal teorema di derivazione della funzione composta:

    (d)/(dx) arccos[f(x)] = -(f'(x))/(√(1-[f(x)]^2))

    Facciamo un esempio e calcoliamo la derivata dell'arcocoseno di x^3.

    Usiamo la precedente formula e sostituiamo f(x) = x^3

    (d)/(dx) arccos(x^3) = -(1)/(√(1-(x^3)^2))·(d)/(dx)[x^3] =

    Infine, poiché la derivata di x^3 è uguale a 3x2, otteniamo

    = -(3x^2)/(√(1-x^6))

    ***

    Concludiamo con un paio di riferimenti che potrebbero tornarti utili:

    - tabella delle derivate fondamentali;

    - tool per calcolare le derivate online.

    Risposta di Galois
 
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