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  • La derivata dell'arcocoseno vale

    \frac{d}{dx}\left[\arccos(x)\right]=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

    Tale derivata rientra tra le derivate fondamentali quindi nel corso degli esercizi viene data per buona e non bisogna ricavarla ogni volta.

    Tuttavia è sempre utile sapere come si calcola derivata dell'arcocoseno, in tal modo saremo sempre in grado di ricavarla, anche quando la memoria dovrebbe farci qualche scherzo.

    Come si calcola la derivata dell'arcocoseno

    Per calcolare la derivata della funzione arcocoseno si utilizza il teorema di derivazione della funzione inversa, ma prima occorre osservare che

    y=\arccos(x)

    è definita nell'intervallo [-1,1] ed la funzione inversa della funzione coseno nell'intervallo [0,\pi].

    Pertanto, fissato un valore x \in [-1,1], y=\arccos(x) restituirà un valore y\in [0,\pi].

    In tal modo ha senso scrivere che

    y=\arccos(x) \iff x=\cos(y)

    Dopo questa premessa possiamo applicare il teorema di derivazione della funzione inversa per calcolare la derivata dell'arcocoseno.

    \frac{d}{dx}\left[\arccos(x)\right]=\frac{1}{\frac{d}{dy}\left[\cos(y)\right]}

    La derivata del coseno la conosciamo più che bene e vale

    \frac{d}{dy}[\cos(y)]=-\sin(y)

    pertanto

    \frac{d}{dx}\left[\arccos(x)\right]=\frac{1}{\frac{d}{dy}\left[\cos(y)\right]}=-\frac{1}{\sin(y)}

    Sappiamo che x=\cos(y), quindi volendo esprimere la derivata dell'arcocoseno in termini di x dobbiamo esprimere \sin(y) in funzione di \cos(y).

    Per l'identità fondamentale della Trigonometria

    \sin^2(y)+\cos^2(y)=1

    da cui

    \sin(y)=\pm \sqrt{1-\cos^2(y)}

    Quale segno scegliamo? Poiché y\in [0,\pi] il seno di y deve essere non negativo, quindi

    \sin(y)=+\sqrt{1-\cos^2(y)}=

    Infine, essendo x=\cos(y) possiamo concludere che

    \sin(y)=+\sqrt{1-\cos^2(y)}=\sqrt{1-x^2}

    e quindi

    \frac{d}{dx}\left[\arccos(x)\right]=\frac{1}{\frac{d}{dy}\left[\cos(y)\right]}=-\frac{1}{\sin(y)}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

    Abbiamo così dimostrato la formula per la derivata dell'arcocoseno

    \frac{d}{dx}\left[\arccos(x)\right]=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

    Per fare un ripasso di tutte le proprietà di cui gode la funzione arcocoseno - click!

    Risposta di Galois
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