Soluzioni
  • a^3+b^3 e a^3-b^3 rappresentano, rispettivamente, una somma ed una differenza di cubi e si scompongono come segue

    \\ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) \\ \\ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

    La scomposizione di a^3+b^3 e di a^3-b^3 è uguale al prodotto tra un binomio di primo grado ed un trinomio di secondo grado e le due scomposizioni differiscono solo per il segno di alcuni termini.

    Scomposizione della somma di cubi a^3+b^3

    In generale, la scomposizione di una somma di cubi si ottiene dal prodotto tra la somma delle basi dei cubi ed il falso quadrato del binomio formato dalla somma delle basi, in cui il termine misto è preceduto dal segno meno.

    Applichiamo tale regola per scomporre il polinomio a^3+b^3.

    - Le basi dei due cubi sono a e b;

    - la somma delle basi è ovviamente a+b;

    - il falso quadrato della somma delle basi col termine misto preceduto dal segno meno è a^2-ab+b^2

    Pertanto

    a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

    Per verificare che la scomposizione ottenuta è corretta è sufficiente svolgere il prodotto tra i due polinomi a secondo membro

    (a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3=a^3+b^3

    Poiché il risultato ottenuto è proprio a^3+b^3 possiamo essere certi della correttezza della scomposizione.

    Scomposizione della differenza di cubi a^3-b^3

    Una differenza di cubi si scompone nel prodotto tra la differenza delle basi ed il falso quadrato di tale differenza, dove il termine misto è preceduto dal segno più.

    a^3-b^3

    è una differenza di cubi in cui:

    - le basi dei cubi sono a e b;

    - la differenza tra le basi è il binomio a-b

    - il falso quadrato della differenza delle basi con il termine misto preceduto dal segno più è a^2+ab+b^2.

    Abbiamo tutto quello che ci occorre per scrivere la scomposizione di a^3-b^3:

    a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

    Anche in questo caso possiamo verificare la correttezza del risultato svolgendo il prodotto tra i due polinomi a secondo membro

    (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3=a^3-b^3

    Abbiamo finito! Per fare un ripasso sui prodotti notevoli puoi consultare la lezione del link. :)

    Risposta di Galois
 
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