Soluzioni
  • I multipli di 7 sono infiniti e sono tutti e soli i numeri interi divisibili per 7. Più esplicitamente i multipli di 7 sono lo zero e i numeri interi, positivi e negativi, tali che il resto della divisione tra ognuno di essi e 7 è uguale a zero.

    Ad esempio 21 è un multiplo di 7, perché

    21:7=3 \ \mbox{ resto } 0

    Al contrario 31 non è un multiplo di 7, infatti

    31:7=4 \ \mbox{ resto } 3

    I multipli di 7 si calcolano moltiplicando 7 per ciascuno dei numeri interi relativi, che sono i numeri interi preceduti dal segno meno o dal segno più, incluso lo zero. È allora evidente che i multipli di 7 sono infiniti, per cui è impossibile scrivere un elenco che li contenga tutti.

    - Alcuni multipli non negativi sono i risultati della tabellina del 7:

    0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70

    e si calcolano moltiplicando 7 per i numeri naturali compresi tra 0 e 10.

    - Alcuni multipli negativi sono:

    -7, -14, -21, -28, -35, -42, -49, -56, -63, -70

    e si ottengono moltiplicando 7 per i numeri interi compresi tra -1 e -10.

    Tra poco vedremo come si stabilisce se un numero è un multiplo di 7, ma prima è bene fare una precisazione sui multipli negativi.

    Il concetto di multiplo di un numero viene studiato per la prima volta nella scuola primaria e ripreso il primo anno di scuola media. In entrambi i casi si lavora con l'insieme N dei numeri naturali (0, 1, 2, 3, ...) e quindi ci si limita a considerare solo i multipli non negativi.

    Proseguendo con lo studio, tra il secondo e il terzo anno di scuola media si estende l'insieme dei numeri naturali e si introduce l'insieme Z dei numeri interi relativi (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...). A questo punto si fa un passo in avanti anche nello studio dei multipli, e occorre considerare anche quelli negativi.

    Come stabilire se un numero è un multiplo di 7

    Per stabilire se un numero è multiplo di 7 basta controllare se è divisibile per 7. In caso affermativo il numero considerato è un multiplo di 7; in caso contrario, non lo è.

    A tal proposito possiamo usare diversi metodi, e in particolare:

    - calcolare il quoziente e il resto della divisione per 7;

    - scomporre il numero in fattori primi;

    - servirci del criterio di divisibilità per 7.

    Se il numero da controllare è negativo, consigliamo di considerare il suo opposto indipendentemente dal metodo scelto.

    Controllo dei multipli di 7 con la divisione

    Per vedere se un numero è un multiplo di 7 basta calcolare il quoziente e il resto della divisione tra il numero e 7, e controllare il resto:

    - se è uguale a zero, allora il numero è un multiplo di 7;

    - se è diverso da zero, allora il numero non è un multiplo di 7.

    Facciamo un esempio e controlliamo quali tra 43, 56, 77 e 90 sono multipli di 7.

    Svolgiamo le rispettive divisioni:

    \\ 43:7 = 6 \ \mbox{ resto } 1 \\ \\ 56:7 = 8 \ \mbox{ resto } 0 \\ \\ 77:7=11 \ \mbox{ resto } 0 \\ \\ 90:7 = 12 \ \mbox{ resto } 6

    Quelle con resto nullo sono la seconda e la terza, dunque i multipli di 7 tra i numeri considerati sono 56 e 77.

    Controllo dei multipli di 7 con la scomposizione in fattori primi

    Un altro metodo con cui si può controllare se un numero è un multiplo di 7 prevede di scomporre in fattori primi il numero e di analizzare i suoi fattori primi.

    Poiché 7 è un numero primo, un numero è un multiplo di 7 se nella sua scomposizione in primi è presente il numero 7.

    Ecco qualche esempio:

    • 28, 42 e 245 sono multipli di 7 perché nelle rispettive scomposizioni c'è il fattore 7

    \\ 28=2^2 \times 7 \\ \\ 42=2\times 3 \times 7 \\ \\ 245=5\times 7^2

    • 15, 52 e 198 non sono multipli di 7, infatti le loro scomposizioni in primi non contengono il 7

    \\ 15=3 \times 5 \\ \\ 52=2^2 \times 13 \\ \\ 198=2\times 3^2 \times 11

    Controllo dei multipli di 7 con il criterio di divisibilità

    Il criterio di divisibilità per 7 afferma che un numero è divisibile per 7, e quindi è un suo multiplo, se il valore assoluto della differenza tra il numero scritto senza la cifra delle unità e il doppio della cifra delle unità è 0, oppure 7, oppure un multiplo di 7.

    Se il valore assoluto restituisce un numero grande, per cui non sappiamo dire se si tratta di un multiplo di 7, possiamo reiterare il procedimento, fino a ottenere un numero più piccolo.

    A titolo di esempio consideriamo i numeri 106 e 1974.

    Partiamo da 106 e applichiamo il criterio di divisibilità per 7.

    Il numero scritto senza la cifra delle unità è 10; la cifra delle unità è 6, e il suo doppio è 12.

    Calcoliamo il valore assoluto la differenza tra il numero scritto senza la cifra delle unità (10) e il doppio della cifra delle unità (12)

    |10-12|=|-2|=2

    Il numero 2 non è un multiplo di 7, per cui non lo è neanche 106.

    Passiamo al numero 1974 e calcoliamo direttamente il valore assoluto della differenza tra il numero scritto senza la cifra delle unità (197) e il doppio della cifra delle unità (4x2=8)

    |197-8| = |189| = 189

    Il numero 189 è troppo grande e non sappiamo dire se è un multiplo di 7. Reiteriamo il procedimento.

    Il numero scritto senza la cifra delle unità è 18, il doppio della cifra delle unità è sempre 18 (9x2=18) e il valore assoluto della loro differenza è zero

    |18-18| = 0

    Di conseguenza 1974 è un multiplo di 7.

    ***

    Ci fermiamo qui, ma ti consigliamo di leggere la nostra lezione su multipli, sottomultipli e divisori di un numero - click!

    Risposta di Galois
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Wiki - Algebra