Derivata di 3x

Giuseppe Carichino (Galois) -

Quanto vale la derivata di 3x? Vorrei sapere quali sono i principali metodi con cui si può calcolare la derivata prima di 3x, con e senza la definizione di derivata.

Come avrete intuito dalla domanda non sono molto pratico con le derivate, per cui vi chiedo una spiegazione che sia quanto più dettagliata e semplice possibile.

Soluzione

La derivata di 3x è 3, ossia la derivata di f(x)=3x è f'(x)=3; si può calcolare con la regola di derivazione del prodotto di una funzione per una costante, oppure usando la definizione di derivata.

Indipendentemente dal metodo scelto, il risultato è sempre lo stesso: la derivata di 3x è 3.

(d)/(dx)[3x] = 3

Come si calcola la derivata di 3x

Consideriamo la funzione f(x) = 3x, e pensiamola come prodotto tra la costante k = 3 e la funzione identità y = x.

f(x) = 3x = 3·x

Per calcolare la derivata di f(x) = 3·x utilizziamo la regola di derivazione per il prodotto di una costante per una funzione, secondo cui:

(d)/(dx)[k·g(x)] = k·(d)/(dx)[g(x)]

Nel caso in esame abbiamo:

k = 3 ; g(x) = x

Applicando la precedente formula, otteniamo

(d)/(dx)[3·x] = 3·(d)/(dx)[x] = 3·1 = 3

Nel penultimo passaggio sostituito la derivata di x con il suo valore, che è 1.

Derivata di 3x con la definizione di derivata

Calcoliamo ora la derivata di f(x) = 3x con la definizione di derivata, ossia calcoliamo il limite del rapporto incrementale

(d)/(dx)[f(x)] = lim_(h → 0) (f(x+h)-f(x))/(h)

Sostituiamo f(x) = 3x e f(x+h) con la valutazione della funzione nel punto x+h, che vale

f(x+h) = 3(x+h) = 3x+3h

Di conseguenza

(d)/(dx)[3x] = lim_(h → 0) (3x+3h-3x)/(h) =

Eliminiamo i monomi opposti a numeratore

= lim_(h → 0) (3h)/(h) =

e semplifichiamo il fattore h

= lim_(h → 0) 3 = 3

Ci siamo! Anche con la definizione di derivata abbiamo ottenuto che la derivata di 3x è 3.

***

Chiudiamo con un paio di riferimenti utili:

- derivate notevoli, dove proponiamo una tabella che elenca tutte le derivate fondamentali;

- calcolo delle derivate online, uno strumento online per verificare i risultati degli esercizi.

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