Derivata di 3x
Quanto vale la derivata di 3x? Vorrei sapere quali sono i principali metodi con cui si può calcolare la derivata prima di 3x, con e senza la definizione di derivata.
Come avrete intuito dalla domanda non sono molto pratico con le derivate, per cui vi chiedo una spiegazione che sia quanto più dettagliata e semplice possibile.
La derivata di 3x è 3, ossia la derivata di f(x)=3x è f'(x)=3; si può calcolare con la regola di derivazione del prodotto di una funzione per una costante, oppure usando la definizione di derivata.
Indipendentemente dal metodo scelto, il risultato è sempre lo stesso: la derivata di 3x è 3.
![(d)/(dx)[3x] = 3](/images/joomlatex/a/e/ae66aa780bfba5eab0ca717a82dd7b67.gif)
Come si calcola la derivata di 3x
Consideriamo la funzione 
, e pensiamola come prodotto tra la costante 
e la funzione identità 
.
Per calcolare la derivata di 
utilizziamo la regola di derivazione per il prodotto di una costante per una funzione, secondo cui:
![(d)/(dx)[k·g(x)] = k·(d)/(dx)[g(x)]](/images/joomlatex/0/a/0ad6945bf07d3225b049959a167972a8.gif)
Nel caso in esame abbiamo:
Applicando la precedente formula, otteniamo
![(d)/(dx)[3·x] = 3·(d)/(dx)[x] = 3·1 = 3](/images/joomlatex/0/a/0a475c5bdf3d8dfe126740f245e61510.gif)
Nel penultimo passaggio sostituito la derivata di x con il suo valore, che è 1.
Derivata di 3x con la definizione di derivata
Calcoliamo ora la derivata di con la definizione di derivata, ossia calcoliamo il limite del rapporto incrementale
![(d)/(dx)[f(x)] = lim_(h → 0) (f(x+h)-f(x))/(h)](/images/joomlatex/b/b/bb78f7f108d92685eecdad98fb74e7d1.gif)
Sostituiamo e 
con la valutazione della funzione nel punto 
, che vale
Di conseguenza
![(d)/(dx)[3x] = lim_(h → 0) (3x+3h-3x)/(h) =](/images/joomlatex/c/1/c1b8c45fddc9eeb22e64f47e3a6be3f5.gif)
Eliminiamo i monomi opposti a numeratore
e semplifichiamo il fattore 
Ci siamo! Anche con la definizione di derivata abbiamo ottenuto che la derivata di 3x è 3.
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Chiudiamo con un paio di riferimenti utili:
- derivate notevoli, dove proponiamo una tabella che elenca tutte le derivate fondamentali;
- calcolo delle derivate online, uno strumento online per verificare i risultati degli esercizi.