Soluzioni
  • Le formule di sdoppiamento sono formule che permettono di determinare l'equazione della retta tangente ad una conica nel piano cartesiano conoscendo le coordinate del punto di tangenza e l'equazione del luogo geometrico.

    Negli esercizi di Geometria Analitica capita spesso, quando abbiamo a che fare con le coniche, di dover calcolare l'equazione della tangente alla conica in un punto noto.

    Le formule di sdoppiamento sono preziosissime formule che ci permettono di raggiungere lo scopo senza effettuare alcun calcolo: per poterle applicare le uniche informazioni che ci servono sono l'equazione della conica e le coordinate del punto di tangenza.

    Nella pratica le formule di sdoppiamento possono rivelarsi molto utili per:

    - circonferenza

    - parabola

    - ellisse

    - iperbole

    Come usare le formule di sdoppiamento

    Immaginiamo di avere l'equazione di una conica in forma canonica. A seconda dei casi essa presenterà termini nelle incognite x,y fino al secondo grado, ed in particolare potrebbe contenere tutti o alcuni tra i seguenti termini

    x^2,y^2,x,y

    Supponiamo di voler determinare l'equazione della retta tangente alla conica nel punto P=(x_P,y_P). Per ottenere l'equazione della retta è sufficiente effettuare le seguenti sostituzioni nell'equazione della conica

    \\ x\ \to\ \frac{x+x_P}{2}\\ \\ y\ \to\ \frac{y+y_P}{2}\\ \\ x^2\ \to\ x_Px\\ \\ y^2\ \to\ y_Py

    In questo modo riusciamo a scrivere con semplicissimi passaggi algebrici la formula di sdoppiamento, la quale individua proprio la retta tangente alla conica nel punto P.

    Attenzione perché nel caso delle equazioni di coniche contenenti termini del tipo xy le formule di sdoppiamento cessano di valere. Esse sono applicabili solamente se nell'equazione compaiono tutti o alcuni dei termini x,y,x^2,y^2.

    Le formule di sdoppiamento sono inoltre applicabili solamente nel caso di equazioni in forma canonica, ossia in cui i calcoli sono già stati sviluppati e sono presenti solamente monomi.

    Vantaggi delle formule di sdoppiamento

    Il primo vantaggio di questo metodo è piuttosto evidente, perché come puoi notare non serve ricordare alcuna formula: possiamo ricavarle tutte all'occorrenza con delle semplici sostituzioni nell'equazione del luogo geometrico considerato.

    Inoltre, se ci ricordiamo il semplice metodo per scrivere le formule di sdoppiamento possiamo risparmiare molti calcoli, perché in alternativa dovremmo:

    - considerare l'equazione della retta passante per un punto

    (y-y_P)=m(x-x_P)

    - mettere a sistema l'equazione della retta con l'equazione della conica;

    - ricavare per sostituzione l'equazione risolvente, che sarà un'equazione di secondo grado;

    - imporre la condizione di tangenza relativa al discriminante, che si traduce in un'equazione in m

    \Delta=0

    - risolverla e sostituire la/le soluzioni nell'equazione della retta in luogo di m

    Le formule di sdoppiamento invece ci permettono di saltare tutta la trafila di conti e di ricavare immediatamente l'equazione della tangente nel punto assegnato.

    Esempi sulle formule di sdoppiamento

    1) Determinare l'equazione della retta tangente alla circonferenza di equazione x^2+y^2=1 nel punto \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right).

    Svolgimento: procediamo con le sostituzioni previste dalle formule di sdoppiamento

    \\ x^2\ \to\ \frac{1}{\sqrt{2}}x\\ \\ y^2\ \to\ \frac{1}{\sqrt{2}}y

    e ricaviamo

    \frac{1}{\sqrt{2}}x+\frac{1}{\sqrt{2}}y=1

    Volendo esprimere l'equazione della retta in forma esplicita

    y=-x+\sqrt{2}

    2) Scrivere l'equazione della tangente alla parabola x=y^2+y+5 nel punto (7,1).

    Svolgimento: effettuiamo le sostituzioni previste dal metodo 

    \\ x\ \to\ \frac{x+7}{2}\\ \\ y\ \to\ \frac{y+1}{2}\\ \\ y^2\ \to\ y

    e ricaviamo

    \frac{x+7}{2}=y+\frac{y+1}{2}+5

    Moltiplichiamo tutto per 2 e portiamo l'equazione in forma esplicita

    x+7=2y+y+1+10\ \to\ 3y=x-4\ \to\ y=\frac{x}{3}-\frac{4}{3}

    Per concludere ti lascio un link che ti sarà sicuramente utile nella risoluzione e nella correzione dei tuoi esercizi: disegnare luoghi geometrici online. ;)

    Risposta di Omega
 
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