log(x)=1

Quali sono le soluzioni di log(x)=1? Potreste mostrarmi tutti i passaggi che permettono di risolvere l'equazione log(x)=1?

In Superiori - Algebra - Domanda di FAQ

Soluzioni

  • log(x)=1 è un'equazione logaritmica che ha come soluzione x=e, dove e indica il numero di Nepero; infatti log(x) è un modo alternativo che si utilizza per indicare il logaritmo naturale di x, ossia in logaritmo avente come base il numero di Nepero.

    Come per tutte le equazioni logaritmiche, la prima cosa da fare prima di procedere al calcolo delle soluzioni è imporre le condizioni di esistenza del logaritmo, ossia imporre che l'argomento del logaritmo sia maggiore di zero.

    Nel caso dell'equazione log(x)=1 deve essere x>0 e, fatto ciò, possiamo trovare la soluzione scegliendo tra uno dei tre metodi riportati qui di seguito.

    Risolvere log(x)=1 col passaggio all'esponenziale

    L'equazione log(x)=1 si presenta nella forma

    \log_a\left[f(x)\right]=b

    dove

    a=e, \ f(x)=x \mbox{ e } b=1

    Per definizione di logaritmo, le soluzioni di tale equazione sono date da

    f(x)=a^b

    ossia

    x=e^1=e

    Poiché il numero di Nepero è un numero maggiore di 0 la soluzione è accettabile.

    Risolvere log(x)=1 come equazione logaritmica elementare

    Per definizione di logaritmo è sufficiente ricordare che log(e) vale 1.

    Sostituendo il termine noto con questo valore possiamo riscrivere l'equazione log(x)=1 come

    \log(x)=\log(e)

    ossia come un'equazione logaritmica elementare, la quale ha come soluzione

    x=e

    Risolvere log(x)=1 col metodo grafico

    Il metodo grafico solitamente si riserva alle equazioni logaritmiche trascendenti, ossia ad equazioni che si presentano nella forma

    \log_a[f(x)]=g(x), \mbox{ con } a>0, \ a\neq 1

    con g(x) che non può essere espressa sotto forma di logaritmo.

    Come abbiamo avuto modo di vedere, non è questo il caso dell'equazione log(x)=1; tuttavia nulla ci vieta di risolverla col metodo grafico per acquisire un po' di dimestichezza con tutti i metodi a nostra disposizione.

    In questo caso il metodo grafico prevede di trovare le soluzioni dell'equazione

    \log(x)=1

    come gli eventuali punti di intersezione tra il grafico della funzione y=log(x) e il grafico di y=1, che è una retta orizzontale.

     

    log(x)=1

     

    Come possiamo osservare, il grafico della funzione logaritmo e quello della retta y=1 si intersecano nel punto di ascissa e, e ciò conferma che x=e è soluzione dell'equazione log(x)=1.

     

    Se ti stai chiedendo come risolvere la disequazione log(x)>1 puoi leggere la nostra lezione sulle disequazioni logaritmiche. ;)

    Risposta di Galois
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