Soluzioni
  • x^2+1=0 e x^2-1=0 sono due equazioni di secondo grado che, seppur simili nell'aspetto, hanno soluzioni diverse tra loro:

    x^2+1=0 non ha infatti soluzioni nell'insieme \mathbb{R} dei numeri reali;

    x^2-1=0 ammette due soluzioni reali e distinte: x=1 ed x=-1.

    Fatta questa premessa vediamo come occorre procedere per trovare le soluzioni di x^2-1=0 e x^2+1=0.

    Risolvere x^2+1=0 e x^2-1=0 col metodo del discriminante

    x^2+1=0\ \ \ ;\ \ \ x^2-1=0

    sono due equazioni della forma

    ax^2+bx+c=0

    che possiamo risolvere calcolando il discriminante ad esse associato ed applicando la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado.

    x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}, \mbox{ con } \Delta = b^2-4ac

    Nel caso dell'equazione

    x^2+1=0

    abbiamo

    \Delta=b^2-4ac=0^2-(4 \cdot 1 \cdot 1) = 0-4 = -4

    Poiché il discriminante è un numero minore di zero, possiamo concludere che l'equazione x^2+1=0 non ha soluzioni reali.

    Per l'equazione

    x^2-1=0

    risulta invece

    \Delta=b^2-4ac=0^2-(4 \cdot 1 \cdot (-1)) = 0+4 = 4

    Essendo un numero maggiore di zero, l'equazione avrà due soluzioni reali e distinte date da

    x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{0 +\pm \sqrt{4}}{2\cdot 1} = \pm \frac{2}{2}=\pm 1

    Pertanto l'equazione x^2-1=0 ha come soluzioni x=-1 e x=1.

    Risoluzione di x^2+1=0 e x^2-1=0 mediante scomposizione

    Chi ha già studiato i prodotti notevoli saprà che:

    x^2+1 è una somma di quadrati e quindi non è scomponibile in \mathbb{R}.

    x^2-1 è una differenza di quadrati e può essere scomposta come prodotto tra somma e differenza delle basi dei quadrati, ossia:

    x^2-1=(x+1)(x-1)

    Pertanto, per la legge di annullamento del prodotto

    x^2-1=0 \iff (x+1)(x-1)=0 \iff \left\{\begin{matrix}x+1=0 \to x=-1 \\ \\ \mbox{oppure} \\ \\ x-1=0 \to x=1 \end{matrix}

    Risolvere x^2+1=0 e x^2-1=0 come equazioni pure

    Le equazioni pure sono equazioni di secondo grado che si presentano nella forma

    ax^2+c=0

    e che ammettono soluzioni reali se e solo se a e c sono numeri discordi. Tali soluzioni sono date da

    x_1=-\sqrt{\frac{-c}{a}} \ \mbox{ e } x_2=\sqrt{\frac{-c}{a}}

    Ora:

    x^2+1=0

    è un'equazione pura avente come coefficienti

    a=1 \ \mbox{ e } \ c=1

    che sono numeri concordi. Pertanto l'equazione non ha soluzioni reali. Invece

    x^2-1=0

    ha come coefficienti

    a=1 \ \mbox{ e } \ c=-1

    ed essendo numeri discordi possiamo trovare le soluzioni di x^2-1=0 che sono date da

    \\ x_1=-\sqrt{\frac{-c}{a}}=-\sqrt{\frac{1}{1}}=-1 \\ \\ \\ x_2=\sqrt{\frac{-c}{a}}=\sqrt{\frac{1}{1}}=1

    Risoluzione di x^2+1=0 in campo complesso

    Se hai già studiato i numeri complessi saprai che x^2+1=0 può essere risolta in campo complesso ed ha come soluzioni

    x=-i \ \mbox{ e } \ x=i

    dove i rappresenta l'unità immaginaria.

     

    È tutto! Per sapere come si risolvono le relative disequazioni x^2-1>0 e x^2+1=0 ti invito a leggere la nostra lezione sulle disequazioni di secondo grado - click!

    Risposta di Galois
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