Soluzioni
  • x^2+x+1 è un trinomio di secondo grado irriducibile, ossia un polinomio che non si può scomporre nell'insieme dei numeri reali.

    Per rendersene conto possiamo procedere in due modi distinti: disegnare la parabola di equazione y=x^2+x+1 ed osservare che non ha intersezioni con l'asse x, oppure procedere con il metodo della scomposizione di un trinomio mediante l'equazione associata.

    Scomposizione di x^2+x+1 mediante la rappresentazione della parabola

    Come anticipato, per osservare che x^2+x+1 è un polinomio irriducibile, possiamo disegnare la parabola di equazione

    y=x^2+x+1

    ed osservare che tale parabola non interseca l'asse delle ascisse.

    Il vertice di una parabola di equazione

    y=ax^2+bx+c

    è dato da

    V \left(-\frac{b}{2a}, \ -\frac{b^2-4ac}{4a}\right)

    L'equazione della parabola

    y=x^2+x+1

    ha come coefficienti a=1, \ b=1, \ c=1, quindi le coordinate cartesiane del vertice sono

    \\ x_V=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{2} \\ \\ \\ y_V=-\frac{b^2-4ac}{4a}=-\frac{1^2-(4 \cdot 1 \cdot 1)}{4 \cdot 1} = - \frac{1-4}{4} = \frac{3}{4}

    Inoltre l'equazione del suo asse di simmetria è

    x=x_V \mbox{ ossia } x=-\frac{1}{2}

    Due punti appartenenti alla parabola e che giacciono da parti opposte rispetto all'asse si ottengono sostituendo al posto di x due numeri opposti. Ad esempio, sostituendo x=1 ed x=-1 si ottiene

    \\ x=1 \to y=x^2+x+1=1^2+1+1=3 \\ \\ x=-1 \to y=x^2+x+1=(-1)^2+(-1)+(-1)=1-1-1=2

    Quindi due punti appartenenti alla parabola sono A(1,3) \ \mbox{ e } \ B(-1,1).

    Infine, poiché a=1>0 la concavità della parabola è rivolta verso l'alto.

    Riportando queste informazioni nel piano cartesiano possiamo tracciare il grafico della parabola cercato

     

    x^2+x+1

     

    ed osservare che non interseca l'asse delle ascisse. Possiamo così concludere che il polinomio x^2+x+1 non è scomponibile in \mathbb{R}

    Scomposizione di x^2+x+1 con l'equazione associata

    Un altro metodo, molto più veloce del precedente, che permette di affermare che il polinomio x^2+x+1 non è scomponibile nell'insieme dei numeri reali è quello di procedere con la scomposizione mediante l'equazione associata.

    L'equazione associata al polinomio x^2+x+1 è

    x^2+x+1=0

    ossia un'equazione di secondo grado il cui discriminante è

    \Delta=b^2-4ac=1-(4\cdot 1 \cdot 1) = 1-4=-3

    Poiché è un numero minore di zero l'equazione non ammette soluzioni reali e quindi il polinomio x^2+x+1 non è scomponibile in \mathbb{R}

    Scomposizione di x^2+x+1 in campo complesso

    Se hai già studiato i numeri complessi hai in mano tutti gli strumenti per scomporre il polinomio x^2+x+1 in campo complesso.

    Infatti, in campo complesso le soluzioni dell'equazione

    x^2+x+1=0

    sono date da

    x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1\pm \sqrt{-3}}{2}=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}

    ossia

    \\ x_1=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2} \\ \\ x_2=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}

    dove i indica l'unità immaginaria. Se dovessi avere dubbi a riguardo ti invito a leggere la nostra lezione sulle radici di un numero complesso - click!

    Pertanto possiamo scomporre il polinomio x^2+x+1 come

    x^2+x+1=a(x-x_1)(x-x_2)=\left(x-\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\right) \left(x-\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)

     

    È tutto! Per un ripasso sui polinomi - click!

    Risposta di Galois
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