Soluzioni
  • La derivata di cos^2(x), cioè la derivata del coseno al quadrato di x, è data dall'opposto del doppio prodotto tra seno e coseno di x.

    \frac{d}{dx}\left[\cos^2(x)\right] \ = \ -2\cos(x)\sin(x)

    Esistono ben due modi equivalenti che permettono di calcolare la derivata di cos^2(x). Vediamoli nel dettaglio.

    Derivata di cos^2(x) come derivata di una funzione composta

    La funzione

    f(x)=\cos^2(x)

    può essere riscritta nella forma

    f(x)=\left[\cos(x)\right]^2

    In questo modo è facile vedere che si tratta di una funzione composta del tipo

    f(x)=\left[g(x)\right]^{\alpha}

    Facciamo ricorso al teorema di derivazione della funzione composta, grazie al quale possiamo calcolare la derivata di cos^2(x) come segue:

    \frac{d}{dx}f'(x)=\left[g(x)\right]^{\alpha} = \alpha \cdot \left(g(x)\right)^{\alpha - 1 } \cdot g'(x)

    Nel nostro caso \alpha=2,\ g(x)=\cos(x) e la derivata del coseno è g'(x)=-\sin(x). Sostituiamo il tutto nella formula precedente, così da ottenere:

    \begin{align*}\frac{d}{dx}\left[\cos(x)\right]^{2} & = 2 \cdot \left(\cos(x)\right)^{2 - 1 } \cdot \left( -\sin(x)\right) \\ \\ & = -2 \cos(x) \sin(x) \end{align*}

     

    Derivata di cos^2(x) come derivata di un prodotto

    Applicando la definizione di potenza

    \cos^2(x)=\cos(x) \cdot \cos(x)

    possiamo calcolare la derivata di cos^2(x) come derivata di un prodotto

    f(x)=\cos(x) \cdot \cos(x)

    e quindi

    \begin{align*}f'(x) \  & = \ \left[\cos(x)\right]' \cdot \cos(x) + \cos(x) \cdot \left[\cos(x)\right]' \\ \\ & = \ -\sin(x) \cdot \cos(x) + \cos(x) \cdot \left(-\sin(x)\right) = \\ \\ & = \ -\cos(x) \sin(x) - \cos(x) \sin(x) = \\ \\ & = \ -2\cos(x)\sin(x)\end{align*}

     

    Nel salutarvi vi consigliamo un ripasso sulle derivate - click! ;)

    Risposta di Galois
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