Derivata di cos^2(x)

Autore: Giuseppe Carichino (Galois) -
Ultimo aggiornamento:

Qual è la derivata di cos^2(x), ossia la derivata del coseno al quadrato di x? Non mi interessa tanto il risultato, quanto più i metodi con cui si può calcolare. Potreste dirmi quali sono e spiegarmi come si applicano?

Ho provato a calcolarla applicando la regola per la derivata di una funzione elevata a potenza ma sicuramente sbaglio qualcosa, perché non ottengo lo stesso risultato del libro.

Soluzione

La derivata di cos^2(x) (ossia la derivata del coseno al quadrato di x) è uguale all'opposto del doppio prodotto tra il coseno di x e il seno di x, ossia la derivata di f(x)=cos^2(x) è f'(x)=-2cos(x)sin(x).

(d)/(dx)[cos^2(x)] = −2cos(x)sin(x)

La derivata del coseno al quadrato di x si può calcolare usando la formula per la derivata di un prodotto oppure, equivalentemente, con la regola per la derivata della potenza di una funzione.

Derivata di cos^2(x) come derivata di un prodotto

La scrittura cos^2(x) corrisponde al quadrato di cos(x), ossia

cos^2(x) = (cos(x))^2 = cos(x)·cos(x)

Per calcolare la derivata prima di cos^2(x) possiamo quindi usare la regola di derivazione di un prodotto, secondo cui la derivata di f(x)·g(x) è uguale alla derivata della prima funzione moltiplicata per la seconda funzione non derivata, più la prima funzione non derivata moltiplicata per la derivata della seconda funzione:

(d)/(dx)[f(x)·g(x)] = (d)/(dx)[f(x)]·g(x)+f(x)·(d)/(dx)[g(x)]

Nel nostro caso

f(x) = cos(x) ; g(x) = cos(x)

per cui:

(d)/(dx)[cos^2(x)] = (d)/(dx)[cos(x)·cos(x)] = (d)/(dx)[cos(x)]·cos(x)+cos(x)·(d)/(dx)[cos(x)] =

La derivata di cos(x) è uguale a -sin(x)

= −sin(x)·cos(x)+cos(x)·(−sin(x)) =

e per la regola dei segni:

= −sin(x)·cos(x)−sin(x)·cos(x) = −2sin(x)cos(x)

In sintesi la derivata del coseno al quadrato di x è uguale a meno due volte il prodotto tra coseno e seno di x

(d)/(dx)[cos^2(x)] = −2cos(x)sin(x)

Derivata di cos^2(x) come derivata della potenza di una funzione

Come già osservato, la funzione

f(x) = cos^2(x)

è il quadrato della funzione coseno

f(x) = [cos(x)]^2

dunque per calcolarne la derivata possiamo usare la formula per la derivata della potenza di una funzione.

Essa stabilisce che la derivata della funzione [f(x)]^s, con s ∈ R, è uguale al prodotto tra l'esponente s, la potenza iniziale con esponente ridotto di 1 e la derivata di f(x). In una formula:

(d)/(dx)[[f(x)]^s] = s·[f(x)]^(s−1)·(d)/(dx)[f(x)] ∀ s ∈ R

Il nostro obiettivo è calcolare la derivata di cos^2(x), per cui sostituiamo

f(x) = cos(x) ; s = 2

Ne ricaviamo:

(d)/(dx)[[cos(x)]^2] = 2·[cos(x)]^(2−1)·(d)/(dx)[cos(x)] =

e poiché la derivata di cos(x) è uguale a -sin(x)

= 2·cos(x)·(−sin(x)) = −2 cos(x) sin(x)

concludiamo che

(d)/(dx)[cos^2(x)] = −2cos(x)sin(x)

***

Per concludere ecco qualche link utile:

- derivate fondamentali, dove trovi una tabella con tutte le derivate notevoli;

- calcolo derivate, per una spiegazione delle principali regole di derivazione;

- derivate online, un tool per verificare i risultati degli esercizi.

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