Soluzioni
  • La derivata di sen^2(x), cioè la derivata del seno al quadrato di x, è data dal doppio prodotto tra seno e coseno di x.

    \frac{d}{dx}\left[\sin^2(x)\right] \ = \ 2\sin(x)\cos(x)

    Per calcolare la derivata di sen^2(x) possiamo procedere in ben due modi distinti, che ora spiegheremo nel dettaglio.

    Derivata di sen^2(x) come derivata di una funzione composta

    La funzione

    f(x)=\sin^2(x)=\left[\sin(x)\right]^2

    è una funzione composta della forma

    f(x)=\left[g(x)\right]^{\alpha}

    Pertanto per calcolare la derivata di sen^2(x) dobbiamo far ricorso al teorema di derivazione della funzione composta, in virtù del quale

    f'(x)=\frac{d}{dx}\left[g(x)\right]^{\alpha} = \alpha \cdot \left(g(x)\right)^{\alpha - 1 } \cdot g'(x)

    Nel caso in esame \alpha=2,\ g(x)=\sin(x) e la derivata del seno è g'(x)=\cos(x).

    Sostituendo nella formula precedente ricaveremo proprio la derivata di sen 2x:

    \begin{align*}\frac{d}{dx}\left[\sin(x)\right]^{2} & = 2 \cdot \left(\sin(x)\right)^{2 - 1 } \cdot \cos(x) \\ \\ & = 2 \sin(x) \cos(x) \end{align*}

     

    Derivata di sen^2(x) come derivata di un prodotto

    Per definizione di potenza possiamo scrivere

    \sin^2(x)=\sin(x) \cdot \sin(x)

    e pertanto possiamo calcolare la derivata di sen 2x come derivata della funzione prodotto

    f(x)=\sin(x) \cdot \sin(x)

    Ricordando le derivate fondamentali e ricorrendo alla proprietà commutativa della moltiplicazione avremo che:

    \begin{align*}f'(x) \  & = \ \left[\sin(x)\right]' \cdot \sin(x) + \sin(x) \cdot \left[\sin(x)\right]' \\ \\ & = \ \cos(x) \cdot \sin(x) + \sin(x) \cdot \cos(x) = \\ \\ & = \ \sin(x) \cos(x) + \sin(x) \cos(x) = \\ \\ & = \ 2\sin(x)\cos(x)\end{align*}

     

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