Soluzioni
  • La derivata di sen^2(x) (derivata del seno al quadrato di x) è uguale al doppio prodotto tra il seno di x e il coseno di x, ossia la derivata di f(x)=sin^2(x) è f'(x)=2sin(x)cos(x).

    \frac{d}{dx}\left[\sin^2(x)\right]=2\sin(x)\cos(x)

    La derivata del seno al quadrato di x si calcola usando la regola per la derivata della potenza di una funzione, oppure applicando la formula per la derivata di un prodotto.

    Derivata di sen^2(x) come derivata della potenza di una funzione

    La funzione

    f(x)=\sin^2(x)

    è il quadrato della funzione seno

    f(x)=\left(\sin(x)\right)^2

    Di conseguenza per calcolarne la derivata prima possiamo usare la formula per la derivata della potenza di una funzione, secondo cui:

    \frac{d}{dx}\left[\left(f(x)\right)^s\right] = s \cdot (f(x))^{s-1} \cdot \frac{d}{dx}\left[f(x)\right] \ \ \ \forall s \in \mathbb{R}

    In altri termini la derivata della funzione (f(x))^s, con s \in \mathbb{R}, è uguale al prodotto tra l'esponente s, la potenza iniziale con esponente ridotto di 1 e la derivata di f(x).

    Sostituiamo allora

    f(x)=\sin(x) \ \ ; \ \ s=2

    e otteniamo:

    \frac{d}{dx}\left[\left(\sin(x)\right)^2\right] = 2 \cdot \left(\sin(x)\right)^{2-1} \cdot \frac{d}{dx}[\sin(x)]=

    La derivata del seno di x è uguale a cos(x)

    =2 \cdot \sin(x) \cdot \cos(x) = 2 \sin(x) \cos(x)

    In definitiva:

    \frac{d}{dx}\left[\sin^2(x)\right]=2\sin(x)\cos(x)

    Derivata di sen^2(x) come derivata di un prodotto

    La formula per la derivata della potenza di una funzione è una conseguenza del teorema di derivazione della funzione composta quindi, se non hai ancora studiato quel teorema, potresti non conoscerla.

    In alternativa, per calcolare la derivata di sen^2(x) possiamo scrivere la potenza come prodotto

    \sin^2(x)=\sin(x) \cdot \sin(x)

    e usare la regola di derivazione di un prodotto. Essa stabilisce che la derivata del prodotto di due funzioni f(x), g(x) è uguale alla derivata della prima funzione moltiplicata per la seconda funzione non derivata, più la prima funzione non derivata moltiplicata per la derivata della seconda funzione:

    \frac{d}{dx}[f(x) \cdot g(x)] = \frac{d}{dx}[f(x)] \cdot g(x) + f(x) \cdot \frac{d}{dx}[g(x)]

    Nel nostro caso

    f(x)=\sin(x) \ \ ; \ \ g(x)=\sin(x)

    per cui:

    \\ \frac{d}{dx}\left[\sin^2(x)\right] = \frac{d}{dx}[\sin(x) \cdot \sin(x)] = \\ \\ \\ = \frac{d}{dx}[\sin(x)] \cdot \sin(x) + \sin(x) \cdot \frac{d}{dx}[\sin(x)]=

    Come già ricordato, la derivata di sen(x) è uguale a cos(x)

    =\cos(x) \cdot \sin(x) + \sin(x) \cdot \cos(x)=

    e per la proprietà commutativa della moltiplicazione:

    \\ =\sin(x) \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot \cos(x) = \\ \\ = 2\sin(x)\cos(x)

    Ecco fatto! Anche in questo modo abbiamo ottenuto che la derivata del seno al quadrato di x è uguale a due volte il prodotto tra seno e coseno di x.

    \frac{d}{dx}\left[\sin^2(x)\right]=2\sin(x)\cos(x)

    ***

    Concludiamo con qualche riferimento utile:

    - calcolo derivate, una panoramica completa delle principali regole di derivazione;

    - derivate fondamentali, una tabella con tutte le derivate notevoli, da avere sempre a portata di mano;

    - derivate online, un pratico strumento per verificare i risultati degli esercizi.

    Risposta di Galois
 
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