Soluzioni
  • x^2=2 è un'equazione di secondo grado che ha ammette due radici reali e distinte: x=-√2 e x=√2. Per trovare le soluzioni di x^2=2 possiamo procedere in tre modi distinti, ciascuno dei quali porta sempre alle stesse soluzioni.

    Risolvere x^2=2 col metodo del discriminante

    Dopo aver portato il termine noto a primo membro

    x^2-2=0

    ricadiamo in un'equazione di secondo grado della forma

    ax^2+bx+c=0

    dove i coefficienti sono

    a=1, \ b=0, \ c=-2

    Per risolvere tale equazione possiamo calcolare il discriminante ad essa associato

    \Delta=b^2-4ac=0^2-4\cdot 1 \cdot (-2) = 8

    per poi trovare le soluzioni dell'equazione x^2=2 utilizzando la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado

    x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{0\pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{2}=\pm \sqrt{2}

    Infatti, la radice quadrata di 8 è uguale a 2√2, quindi le soluzioni dell'equazione x^2=2 sono

    x_1=-\sqrt{2} \mbox{ e } x_2=\sqrt{2}

    Risoluzione di x^2=2 mediante scomposizione

    Ancora una volta, dopo aver portato il termine noto a primo membro

    x^2-2=0

    possiamo pensare al polinomio x^2-2 come ad una differenza di quadrati e quindi possiamo scomporlo nel prodotto tra somma e differenza delle basi dei quadrati, dove la base di 2 è la radice quadrata di 2, infatti

    \left(\sqrt{2}\right)^2=2

    Pertanto

    x^2-2=0 \iff \left(x-\sqrt{2}\right) \left(x+\sqrt{2}\right)=0

    Facciamo ora ricorso alla legge di annullamento del prodotto, secondo la quale un prodotto è zero se almeno uno dei due fattori è nullo, quindi

    x^2-2=0 \iff \left(x-\sqrt{2}\right) \left(x+\sqrt{2}\right)=0 \iff \left\{ \begin{matrix} x+\sqrt{2}=0 \iff x=-\sqrt{2} \\ \\ \mbox{oppure} \\ \\  x-\sqrt{2}=0 \iff x=\sqrt{2}\end{matrix}

    Prima di proseguire ci teniamo a precisare che il metodo della scomposizione non è sempre applicabile e qualora lo fosse è indispensabile riconoscere e ricordare i prodotti notevoli. ;)

    Risolvere x^2=2 come equazione pura

    Un'equazione pura è un'equazione di secondo grado che si presenta nella forma

    ax^2+c=0

    e che ammette soluzioni reali se e solo se a e c sono numeri discordi. Tali soluzioni sono date da

    x_1=-\sqrt{\frac{-c}{a}} \ \mbox{ e } \ x_2=\sqrt{\frac{-c}{a}}

    Ora, se riscriviamo x^2=2 come

    x^2-2=0

    possiamo osservare che siamo di fronte proprio ad un'equazione pura, con

    a=1 \ \mbox{ e } \ c=-2

    che sono numeri discordi; possiamo così trovarne le soluzioni:

    \\ x_1=-\sqrt{\frac{-c}{a}}=-\sqrt{\frac{2}{1}}=-\sqrt{2} \\ \\ \\ x_2=\sqrt{\frac{-c}{a}}=\sqrt{\frac{2}{1}}=\sqrt{2}

    Per sapere come occorre procedere per risolvere la relativa disequazione rimandiamo alla lezione sulle disequazioni di secondo grado - click!

    Risposta di Galois
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